Vecteur propre et valeur propre en termes simple

En finance quantitative, les valeurs propres (eigenvalues) et les vecteurs propres (eigenvectors) sont utilisés dans l'analyse des marchés financiers, en particulier dans l'étude de la théorie du portefeuille et de la gestion des risques. Un exemple pratique est l'application de l'Analyse en Composantes Principales (PCA) à la matrice de covariance des rendements d'actifs pour identifier les principaux facteurs affectant la variance du portefeuille.

 

Dans l'équation A * v = λ * v, A est la matrice, v est le vecteur propre, et λ est la valeur propre. Cette équation nous indique que lorsque la matrice A agit sur le vecteur propre v, le résultat est le même vecteur v multiplié par la valeur propre λ.

 

Supposons qu'un gestionnaire de placements souhaite réduire la dimensionnalité d'un ensemble de données de rendements d'actifs pour identifier les facteurs sous-jacents qui expliquent la majeure partie de la variance des rendements d'un portefeuille. Le portefeuille contient un grand nombre d'actifs, et le gestionnaire souhaite identifier les principales sources de risque.

 

Imaginons que nous ayons un portefeuille composé de deux actifs, A et B. Nous avons les données de rendement suivantes sur cinq périodes :

 

Rendements :

Actif A : [5%, 10%, 15%, 10%, 5%]

Actif B : [10%, 20%, 10%, 5%, 0%]

 

Nous souhaitons comprendre la structure de risque de ce portefeuille en effectuant une Analyse en Composantes Principales (PCA) sur la matrice de covariance des rendements.

 

La matrice de covariance pour les actifs A et B, basée sur les rendements ci-dessus, est :

 

| Var(A) Cov(A,B) |

Cov = 

| Cov(A,B) Var(B) |

 

| 0.0025 0.00375 |

Cov = | 

| 0.00375 0.00625 |

 

Nous résolvons l'équation caractéristique det(Cov - λI) = 0 pour obtenir les valeurs propres (λ).

 

Pour notre matrice, l'équation caractéristique est :

 

| 0.0025 - λ 0.00375 |

| | = 0

| 0.00375 0.00625 - λ |

 

Disons que la résolution de cette équation nous donne les valeurs propres λ1 = 0.00875 et λ2 = 0.0000096875.

 

Les vecteurs propres correspondants (qui sont les composantes principales) pourraient être :

 

Pour λ1 = 0.00875 : Vecteur_propre_1 = [1, 2]

Pour λ2 = 0.0000096875 : Vecteur_propre_2 = [-2, 1]

 

Les vecteurs propres représentent les directions des axes où la variance est observée dans les données, et les valeurs propres quantifient la quantité de variance dans ces directions.

 

La première valeur propre (λ1 = 0.00875) est plus grande, et son vecteur propre [1, 2] suggère que lorsque l'actif A bouge d'un certain montant, l'actif B a tendance à bouger du double dans la même direction. Cette composante principale peut être interprétée comme un facteur « marché » qui affecte les deux actifs.

 

Le second vecteur propre [-2, 1], correspondant à la petite valeur propre, représente un modèle de variance relativement insignifiant dans la structure globale de risque du portefeuille. Il peut capturer des risques mineurs ou diversifiables.

 

Dans ce portefeuille, le risque est principalement dans une dimension — représentée par le premier vecteur propre. L'actif B est plus volatil et contribue davantage au risque du portefeuille, comme indiqué par le vecteur propre [1, 2].

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