Les séries de Laurent sont une extension des séries de Taylor et ont des applications importantes en finance quantitative pour analyser des fonctions autour de singularités. Elles permettent de modéliser les prix d’actifs, valoriser des options et résoudre des équations différentielles.
Une série est une somme infinie de termes, exprimée comme a_0 + a_1 + a_2 + …, qui peut soit converger soit diverger. Pour une fonction analytique, la série de Taylor autour d'un point z_0 est écrite comme :
f(z) = a_0 + a_1 (z - z_0) + a_2 (z - z_0)^2 + …, où chaque coefficient a_n est lié à la dérivée n-ième de la fonction évaluée en z_0.
Les séries de Laurent généralisent les séries de Taylor en incluant des puissances négatives :
f(z) = … + a_{-2} (z - z_0)^-2 + a_{-1} (z - z_0)^-1 + a_0 + a_1 (z - z_0) + …
Ces puissances négatives permettent de modéliser des singularités, ou des points où la fonction devient infinie ou indéfinie, ce que les séries de Taylor ne peuvent pas faire. Les séries de Laurent décomposent ainsi une fonction en une partie singulière (avec puissances négatives) et une partie régulière (avec puissances positives).
Pour une série de Taylor, la région de convergence est un disque centré autour du point z_0, où la série converge vers la fonction qu'elle représente. Il existe un rayon R tel que la série converge pour tous les points z satisfaisant |z - z_0| < R. Cela signifie que la série de Taylor converge dans un cercle de rayon R autour de z_0, mais diverge en dehors de ce disque.
À l'inverse, la série de Laurent a une région de convergence appelée "couronne" (ou anneau), définie par deux cercles concentriques de rayons R1 et R2 centrés sur le même point z_0. La série converge si R1 < |z - z_0| < R2, formant une "bande" circulaire autour de z_0.
Contrairement à la série de Taylor, la série de Laurent peut converger dans une couronne qui exclut z_0, ce qui la rend utile pour modéliser des singularités ou des pôles. Par exemple, une fonction ayant un pôle simple en z_0, telle que f(z) = 1 / (z - z_0), aura une série de Laurent dominée par (z - z_0)^-1, qui capture la singularité due à l'annulation de son dénominateur en z_0. Cela permet de mieux comprendre et de modéliser des comportements complexes, particulièrement en finance, où les marchés peuvent présenter des irrégularités importantes.
Les puissances négatives de (z - z_0), telles que (z - z_0)^-1, (z - z_0)^-2, etc., deviennent très grandes lorsque z s'approche de z_0, car (z - z_0) devient très petit. Ces termes tendent donc vers l'infini, ce qui est nécessaire pour représenter une singularité ou un pôle.
Alors que la série de Taylor converge dans un disque autour de z_0, la série de Laurent converge dans une "couronne", offrant une meilleure représentation analytique lorsqu'il y a des singularités.
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