Les séries de Laurent sont une extension des séries de Taylor et ont des applications importantes en finance quantitative pour analyser des fonctions autour de singularités. Elles permettent de modéliser les prix d’actifs, valoriser des options et résoudre des équations différentielles.
Les séries infinies
Une série est une somme infinie de termes, exprimée comme :
Elle peut soit converger soit diverger. Pour une fonction analytique, la série de Taylor autour d'un point \( z_0 \) est écrite comme :
Chaque coefficient \( a_n \) est lié à la dérivée \( n \)-ième de la fonction évaluée en \( z_0 \).
Les séries de Laurent : des puissances négatives
Les séries de Laurent généralisent les séries de Taylor en incluant des puissances négatives :
Ces puissances négatives permettent de modéliser des singularités, ou des points où la fonction devient infinie ou indéfinie, ce que les séries de Taylor ne peuvent pas faire. Les séries de
Laurent décomposent ainsi une fonction en une partie singulière (avec puissances négatives) et une partie régulière (avec puissances positives).
Convergence et régions de convergence
Pour une série de Taylor, la région de convergence est un disque centré autour du point \( z_0 \), où la série converge vers la fonction qu'elle représente. Il existe un rayon \( R \) tel que la série converge pour tous les points \( z \) satisfaisant :
La série de Taylor converge donc dans un cercle de rayon \( R \) autour de \( z_0 \), mais diverge en dehors de ce disque.
À l'inverse, la série de Laurent a une région de convergence appelée "couronne" (ou anneau), définie par deux cercles concentriques de rayons \( R_1 \) et \( R_2 \), centrés sur le même point \( z_0 \). La série converge si :
Cette région forme une "bande" circulaire autour de \( z_0 \).
Applications et singularités
Contrairement à la série de Taylor, la série de Laurent peut converger dans une couronne qui exclut \( z_0 \), ce qui la rend utile pour modéliser des singularités ou des pôles. Par exemple, une fonction ayant un pôle simple en \( z_0 \), telle que :
aura une série de Laurent dominée par \( (z - z_0)^{-1} \), qui capture la singularité due à l’annulation de son dénominateur en \( z_0 \). Cela permet de mieux comprendre et de modéliser des comportements complexes, particulièrement en finance, où les marchés peuvent présenter des irrégularités importantes.
Les puissances négatives
Les puissances négatives de \( (z - z_0) \), telles que \( (z - z_0)^{-1} \), \( (z - z_0)^{-2} \), etc., deviennent très grandes lorsque \( z \) s'approche de \( z_0 \), car \( (z - z_0) \) devient très petit. Ces termes tendent donc vers l'infini, ce qui est nécessaire pour représenter une singularité ou un pôle.
Alors que la série de Taylor converge dans un disque autour de \( z_0 \), la série de Laurent converge dans une "couronne", offrant une meilleure représentation analytique lorsqu'il y a des singularités. Cette distinction en fait un outil puissant pour les applications en finance quantitative, où les fonctions complexes et les singularités sont courantes.
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