En finance quantitative, l’un des principaux défis est d’évaluer les instruments dérivés conditionnels, tels que les options dont le prix dépend de conditions spécifiques comme les prix futurs du marché, la volatilité et d’autres variables.
Un aspect clé pour évaluer correctement ces instruments est la convergence des fonctions de prix. La convergence signifie ici que la séquence des valeurs d’un dérivé se « stabilise » vers une valeur précise à mesure que les calculs s’affinent. À l'approche de la date de maturité ou de l'événement conditionnel, la valeur du dérivé devrait converger vers un prix unique.
Pour garantir cette convergence, on utilise des notions mathématiques d’ensembles compacts et fermés dans l’espace des nombres complexes (ℂ). Un ensemble compact est fermé et borné, ce qui signifie que les séquences de valeurs ne divergent pas à l’infini, mais restent dans un espace défini. Cela assure la convergence des valeurs de prix dans les modèles utilisés.
Les fonctions analytiques jouent un rôle crucial en finance quantitative, car elles modélisent les prix des dérivés de manière continue et fluide. Une fonction est dite analytique lorsqu’elle peut être représentée comme une série de puissances (une somme infinie de termes de type a_n(z - z_0)^n, où a_n sont les coefficients).
Les fonctions analytiques sont très régulières : elles sont infiniment différentiables et stables, ce qui simplifie notamment le pricing des dérivés.
Le comportement des fonctions analytiques, et donc des modèles de prix, est garanti par la convergence de leurs séries de puissances sur des ensembles compacts. La stabilité des valeurs dépend de la convergence contrôlée de la série.
La formule intégrale de Cauchy est un résultat clé de l’analyse complexe pour calculer la valeur d’une fonction analytique à partir de ses valeurs sur un contour (*) fermé. Si une fonction f est analytique dans un domaine contenant un contour fermé (γ) et un point intérieur (z_0), alors f(z_0) peut être calculée par une intégrale le long de γ.
Cette formule permet de calculer les coefficients a_n d’une fonction analytique sans avoir à la différencier, ce qui peut être complexe pour les fonctions modélisant le payoff d’instruments financiers.
Cela signifie que la série de puissances d’une fonction et sa valeur approximative à tout point peuvent être dérivées par intégration. Cela simplifie grandement l’analyse, notamment pour les dérivés dont les prix dépendent de nombreux paramètres.
Une manière intuitive de comprendre la formule de Cauchy est de voir l’intégrale le long de γ comme une « moyenne pondérée » des valeurs de la fonction sur le contour.
La beauté de l'approche tient au fait que la valeur de la fonction en z_0 peut être trouvée en moyennant ses valeurs le long de γ. Au lieu de connaître la fonction partout dans le domaine, il suffit de connaître ses valeurs sur la « frontière ».
Ainsi, la formule de Cauchy transforme un problème « global » (la valeur de la fonction sur un disque entier) en un problème « local » (les valeurs uniquement sur le contour), facilitant la convergence des séries de puissances.
En finance, cela signifie par exemple que connaître les prix d’un dérivé sur un intervalle peut suffire à déduire les prix à l’intérieur de cette limite.
(*) En analyse complexe, un contour est une courbe fermée et orientée dans le plan complexe (ℂ). Mathématiquement, c’est une ligne continue, souvent paramétrée par une fonction γ(t) où t est un paramètre variant dans un certain intervalle [a, b], avec la condition que γ(a) = γ(b) pour que la courbe soit fermée. Cette courbe est parcourue dans une direction donnée, ce qui définit une orientation.
Écrire commentaire