"Pricer" un swap de taux vanille en termes simples

”Pricer” un swap de taux vanille consiste à trouver le "taux de swap," soit le taux fixe qui rend la valeur actuelle (VA) de tous les flux de trésorerie flottants futurs attendus égale à la VA de tous les flux de trésorerie fixes futurs. Cela garantit que le swap a une valeur de zéro à l’initiation selon le sacro-saint principe d’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA) qui fixe le prix d’un dérivé à un niveau tel qu’il prévient la possibilité qu’une des 2 parties au contrat soit favorisée ou lésée par rapport à l’autre. 

On peut donc formuler la relation suivante:

Valeur du swap = Valeur de l’obligation à taux fixe (VP) - Valeur de l’obligation à taux variable (VFL)

On retiendra les analogies suivantes: 

• Recevoir le taux fixe est équivalent à investir dans une obligation à taux fixe (VP) soit être le prêteur.
• Payer le taux variable est équivalent à émettre une obligation à taux variable (VFL) soit être l’emprunteur. 

Valeur jambe Flottante et valeur jambe Fixe (VFL et VP) :

VFL : Elle vaut 1, car à chaque date de paiement des coupons, le taux variable est ajusté et la valeur de l’obligation revient à sa valeur nominale. En effet, cela équivaut à émettre une nouvelle obligation à chaque “reset date” au nouveau taux variable constaté pour une valeur de remboursement de 1. 

 

VP : La valeur de l’obligation à taux fixe est calculée comme suit :  

VP = (C / (1 + t1)) + (C / (1 + t2)^2) + ... + (C / (1 + tn)^n) + (P / (1 + tn)^n), où :  

• C est le taux du coupon pour l’obligation à taux fixe.  
• P est le principal ou la valeur nominale (généralement 1).  
• t1, t2, ..., tn sont les facteurs d’actualisation basés sur les taux spot pour chaque période.

Le facteur d’actualisation (DF) pour chaque période est donné par :  1 / (1 + ti)^i

Calcul du taux de coupon (C) :  

Le taux du coupon C est déterminé de manière à ce que l’obligation soit évaluée à sa valeur nominale (1) et soit remboursée à sa valeur nominale à l’échéance (P = 1).

Formule :  

La formule pour résoudre C est :  C = (1 - DFn) / (DF1 + DF2 + ... + DFn). Ici, DFn est le facteur d’actualisation pour la dernière période n.

 

Exemple :

• Durée du Swap : 3 ans  
  
• Paiements des Coupons Fixes : Annuellement  
• Taux Spot (utilisés pour calculer les facteurs d’actualisation) :  
• Année 1 : 5%  
  
• Année 2 : 5,5%  
  
• Année 3 : 6%

Nous souhaitons calculer le taux du coupon fixe (C) qui rend la valeur du swap nulle à son initiation.

 

Calcul étape par étape :

1. Calculer les facteurs d’actualisation (DF) pour chaque année sur la base des taux spot :  

• DF1 = 1 / (1 + 0,05) = 0,9524  
• DF2 = 1 / (1 + 0,055)^2 = 0,8984  
• DF3 = 1 / (1 + 0,06)^3 = 0,8396

2. Calculer la valeur de l’obligation à taux variable (VFL) :

Comme le taux variable est ajusté au taux du marché à chaque date de paiement, VFL = 1.

 

3. Calculer la valeur de l’obligation à taux fixe (VP) :

VP = (C / (1 + t1)) + (C / (1 + t2)^2) + (C / (1 + t3)^3) + (1 / (1 + t3)^3)  

 

En injectant nos facteurs d’actualisation dans l’équation, on obtient: 

VP = (C * 0,9524) + (C * 0,8984) + (C * 0,8396) + (1 * 0,8396)

 

4. Établir l’égalité de VP avec VFL:  

(C * 0,9524) + (C * 0,8984) + (C * 0,8396) + (1 * 0,8396) = 1

 

5. Résoudre C (taux du coupon fixe) :  

Combiner les termes impliquant C : 
C * (0,9524 + 0,8984 + 0,8396) + 0,8396
Sommer les facteurs d’actualisation :
C * (2,6904) + 0,8396 = 1  
Soustraire 0,8396 des deux côtés :
C * 2,6904 = 1 - 0,8396 = 0,1604  
EndéduireC: 
C = 0,1604 / 2,6904  ≈ 0,0596

Ainsi, le taux du coupon fixe (C) qui rend la valeur du swap nulle à son initiation est d’environ 5,96% par an.

 

Dans cet exemple, pour un swap d’une durée de 3 ans, le taux fixe reçu en échange du taux variable de marché serait d’environ 5,96%. Cela garantit que la valeur du swap est nulle à son initiation, car la valeur actuelle des flux de trésorerie respectifs de la jambe fixe et de la jambe variable est égale.