Les nombres premiers sont comme les blocs de construction de tous les nombres entiers – ce sont des entiers supérieurs à 1 qui n'ont que deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Des exemples incluent 2, 3, 5 et 7 (notez que 2 est le seul nombre premier pair).
Mais comment savons-nous qu'il existe une infinité de nombres premiers ? Euclide, le grand mathématicien grec, a proposé une démonstration élégante pour prouver qu'ils sont infinis.
Le cœur de la preuve d’Euclide repose sur un "raisonnement par l’absurde", où vous :
1. Supposez le contraire de ce que vous voulez prouver.
2. Montrez que cette hypothèse conduit à une situation impossible.
3. Concluez que cette hypothèse est fausse, prouvant ainsi la proposition initiale.
Ici, nous voulons prouver qu'il y a une infinité de nombres premiers. Supposons donc le contraire : qu'il existe un nombre fini de nombres premiers.
Étape 1 : Supposons une liste finie de nombres premiers
Supposons que nous ayons une liste complète et finie de tous les nombres premiers : p1, p2, ..., pk. Par exemple, cette liste pourrait être 2, 3, 5, ..., jusqu'à un dernier nombre premier pk.
Si notre hypothèse est correcte, il n’existe pas de nombres premiers au-delà de cette liste.
Étape 2 : Construire un nouveau nombre
Voici la partie astucieuse. Nous allons construire un nouveau nombre, N, à partir de tous les nombres premiers de notre liste. Multiplions-les tous ensemble et ajoutons 1 :
- N = p1 × p2 × p3 × ... × pk + 1.
Par exemple, si nos nombres premiers sont 2, 3 et 5, alors N serait :
- N = 2 × 3 × 5 + 1 = 30 + 1 = 31.
Étape 3 : Qu'est-ce qui rend N spécial ?
Ce nombre N a deux propriétés clés :
- N est plus grand que n'importe quel nombre premier de notre liste.
- Plus important encore, N n'est divisible par aucun des nombres premiers de notre liste.
Pourquoi N n’est-il divisible par aucun nombre premier ?
Si vous divisez N par n'importe quel nombre premier pi de la liste, vous obtenez un reste de 1. En effet :
N = (p1 × p2 × ... × pk) + 1.
Le produit (p1 × p2 × ... × pk) est exactement divisible par pi, mais en ajoutant 1, il reste un reste de 1.
Par exemple, si notre liste de nombres premiers est 2, 3 et 5, alors :
- P = 2 × 3 × 5 = 30.
- N = P + 1 = 30 + 1 = 31.
Quand vous divisez 31 par n'importe quel nombre premier de la liste :
- 31 ÷ 2 = 15 reste 1.
- 31 ÷ 3 = 10 reste 1.
- 31 ÷ 5 = 6 reste 1.
Dans chaque cas, le reste est 1, donc N n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. Par conséquent, N est soit un nouveau nombre premier, soit il a un facteur premier qui n’est pas dans la liste originale.
Étape 4 : La contradiction
Cela mène à une contradiction. Si notre liste était supposée contenir tous les nombres premiers, alors nous ne devrions pas être capables de trouver un nombre comme N qui soit un nouveau nombre premier ou qui ait un facteur premier non inclus dans la liste. Mais nous l'avons fait, donc notre hypothèse initiale doit être fausse.
Par conséquent, les nombres premiers ne peuvent pas être finis. Il doit y avoir une infinité de nombres premiers.
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