Les termes N(d1) et N(d2) proviennent de la fonction de distribution cumulative (CDF) de la distribution normale standard, où la CDF indique la probabilité qu'une variable soit inférieure ou égale à une valeur particulière, résumant l'accumulation des probabilités jusqu'à ce point.
N(d2) représente la probabilité, selon la mesure neutre au risque, que le prix de l'action dépasse le prix d'exercice (K) à la date d'expiration, autrement dit que l'option soit "dans la monnaie" à l'expiration.
Cette mesure neutre au risque est essentielle dans le pricing des options car elle suppose que tous les investissements croissent à un taux sans risque. Ce cadre théorique formel permet de se concentrer sur les probabilités sans tenir compte des préférences individuelles en matière de risque.
Ce concept de mesure neutre au risque, en particulier dans le contexte du modèle de Black-Scholes, est également fondamental pour garantir l’absence d'opportunités d'arbitrage.
En termes plus simples, cela implique de tarifer ou “pricer” l'option de manière à ce que personne ne puisse réaliser un profit sans risque en exploitant les différences de prix sur le marché qui ne devrait pas exister selon la loi du prix unique ( 2 instruments promettant un même cash-flow doivent avoir le même prix).
Un N(d2) plus élevé suggère donc une plus grande probabilité que l'option soit exercée.
Le terme K * e^(-rt) * N(d2) dans la formule ajuste le coût attendu de l'exercice de l'option à la valeur actuelle, en tenant compte de la probabilité d'exercer l'option.
À mesure que N(d2) augmente, ce deuxième terme devient plus grand. Étant donné qu'il est soustrait du premier terme, un N(d2) plus élevé réduit la valeur nette actuelle de l'option d'achat.
Pour comprendre N(d2), qui est une probabilité comprenant d’abord d2.
d2, à l’image d’un Z- score (*) représente le nombre d’écarts-types, à un instant t donné, entre le prix d’exercice et le prix à terme du sous-jacent (ici une option). N(d2) peut, par conséquent être assimilé à la probabilité que l’option finisse au-dessus du prix d’exercice à l’échéance.
Cependant, bien qu'un N(d2) plus élevé augmente le coût attendu (réduisant ainsi le profit associe à l’exercice théorique de l'option d'achat), il signifie également une probabilité plus élevée que l'option ait suffisamment de valeur pour être exercée. En effet, rappelons ici que N(d1) et N(d2) sont liés car ils dépendent tous les deux des mêmes variables de base : le prix de l’actif sous-jacent (S), le prix d’exercice (K), le taux sans risque (r), la volatilité (σ), et le temps jusqu’à l’échéance (t).
Comprenant maintenant le rôle de N(d1). N(d1) peut etre assimilé au delta de l’option, à savoir la sensibilité du prix de l’option aux variations du prix de l’actif sous-jacent.
d2 = d1 - σ * √t
Ainsi, d2 est simplement d1 moins un terme qui dépend de la volatilité (σ) et du temps jusqu’à l’échéance (t). La différence entre d1 et d2 est donc constante pour un certain niveau de volatilité et de temps restant. L'impact global sur le prix de l'option d'achat est un équilibre entre ces facteurs - la probabilité accrue d'exercer l'option et le coût attendu plus élevé de le faire.
(*) Le Z-score mesure combien d’écarts-types une valeur est au-dessus/en dessous de la moyenne : Z = (X - μ) / σ. X = valeur, μ = moyenne, σ = écart-type. Il permet de Le Z-score est très utile en statistique pour comparer des valeurs issues de distributions différentes, identifier des valeurs atypiques (outliers) et effectuer des tests d’hypothèses.
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