Dans le monde de la finance quantitative et du calcul stochastique, certaines règles de multiplication sont fondamentales pour modéliser et analyser les processus aléatoires, tels que le mouvement brownien.
Ces règles, bien que concises, ont des implications profondes qui permettent de dériver des modèles complexes, essentiels pour l’ingénierie financière, la valorisation d’options et la gestion des risques.
I. La règle dW² = dt
Cette règle provient de la variation quadratique du mouvement brownien. Lorsque nous évaluons le carré des incréments du mouvement brownien sur un court intervalle de temps Δt, cela équivaut à l’intervalle de temps lui-même. Mathématiquement, cela s'exprime en considérant la somme des carrés des incréments du processus de Wiener W_t sur une partition d’un intervalle :
Somme (W_(t_(i+1)) - W_(t_i))² ≈ Somme Δt_i = Δt
À mesure que la partition devient de plus en plus fine, cette approximation devient une égalité à la limite, ce qui conduit à la règle dW² = dt. Ce comportement mathématique souligne l'irrégularité du chemin suivi par le mouvement brownien. Cette irrégularité signifie qu'il n'existe pas de point où l’on peut tracer une tangente, illustrant ainsi la non-différentiabilité du mouvement à tout moment donné.
L’intuition derrière cette règle est que le mouvement brownien est comme une série de petits pas aléatoires. Plus le temps de mouvement est long, plus la position devient incertaine ou dispersée. Chaque pas ajoute indépendamment à cette incertitude globale, de sorte que la variance augmente proportionnellement au temps écoulé, ce qui donne une variance égale au temps.
II. Les règles zéro : dt² = 0 et dtdW = 0
Ces règles découlent de la nature infinitésimale des termes impliqués. Pour dt² = 0, il s’agit d’un terme de second ordre qui devient infinitésimalement petit et est donc négligé dans les équations différentielles.
Pour dtdW = 0, la justification repose sur la nature de dW, qui représente un incrément du mouvement brownien sur un intervalle de temps infinitésimal dt. Puisque le mouvement brownien a une moyenne nulle et une variance égale à dt, le produit de dt et de dW tend vers zéro plus rapidement que dt lui-même lorsque dt tend vers 0.
L’énoncé « dtdW = 0 » résulte des propriétés mathématiques du mouvement brownien et des incréments infinitésimaux impliqués dans le calcul stochastique.
Le mouvement brownien se caractérise par son caractère aléatoire, où chaque incrément est indépendant des autres. Sa moyenne est nulle, ce qui signifie que les mouvements vers le haut et vers le bas sont également probables sur un intervalle de temps infinitésimal.
La variance du mouvement brownien sur un intervalle de temps infinitésimal dt est égale à dt. Cela signifie la dispersion ou l'étendue des valeurs possibles du mouvement brownien, qui, dans ce cas, évolue linéairement avec le temps.
Lorsque vous multipliez l’incrément de temps infinitésimal dt par l’incrément infinitésimal du mouvement brownien dW, vous multipliez deux petites quantités. Puisque dW a une moyenne nulle et est aléatoire, en moyenne, le produit dtdW devient beaucoup plus petit que les incréments individuels dt ou dW.
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