La loi uniforme est omniprésente en finance quantitative, et son rôle va au-delà de la simple génération de nombres aléatoires. Elle joue un rôle clé dans la modélisation des processus stochastiques, où les probabilités sont transformées en chocs standardisés pour simuler les trajectoires des actifs financiers.
Cet article expliquera comment la fonction de répartition cumulative (CDF) et son inverse sont utilisées pour convertir une probabilité en une variable aléatoire normalisée et comment cela s'intègre naturellement dans la simulation discrète d'une équation différentielle stochastique (SDE) en substituant la composante aléatoire par un score Z normalisé.
1. La CDF et son inverse : de la probabilité au choc normalisé
En théorie des probabilités, la fonction de répartition cumulative (CDF) d'une variable aléatoire \( X \) est définie comme suit :
\[ F_X(x) = P(X \leq x) \]
Elle donne la probabilité qu'une variable prenne une valeur inférieure ou égale à \( x \).
L'inverse de la CDF, notée \( F_X^{-1}(p) \), est cruciale en finance quantitative car elle permet de retrouver la valeur de la variable aléatoire correspondant à une probabilité donnée \( p \).
Lien avec la loi normale standard
- Pour une variable normale standard \( Z \sim \mathcal{N}(0,1) \), sa CDF est notée \( \Phi(z) \).
- La fonction inverse \( \Phi^{-1}(p) \) convertit une probabilité \( p \) en une valeur issue de la loi normale standard, partageant la distribution en deux zones contenant \( p \) et \( 1 - p \) de la probabilité totale.
Application en simulation financière
Dans les simulations de Monte Carlo, on génère d'abord une variable uniforme \( U \sim \mathcal{U}(0,1) \). Ensuite, pour obtenir un choc normalement distribué, on applique la transformation inverse :
\[ Z = \Phi^{-1}(U) \]
Ainsi, un nombre uniformément distribué dans \( [0,1] \) est converti en un score Z issu de la loi normale standard.
2. Équations différentielles stochastiques (SDE) et leur discrétisation
En finance, l'évolution du prix d'un actif ou d'un taux d'intérêt est souvent modélisée par une équation différentielle stochastique (SDE) de la forme :
\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \]
où :
- \( S_t \) est le prix de l'actif à l'instant \( t \),
- \( \mu \) est le taux de dérive (tendance moyenne du prix),
- \( \sigma \) est la volatilité, mesurant les fluctuations du prix,
- \( dW_t \) est un mouvement brownien standard, représentant le choc aléatoire du marché.
Approximation en temps discret : méthode d'Euler-Maruyama
L'idée est de prendre un pas de temps discret \( \Delta t \), transformant l'EDS en :
\[ S_{t+\Delta t} = S_t + \mu S_t \Delta t + \sigma S_t \sqrt{\Delta t} Z \]
où :
- \( Z \sim \mathcal{N}(0,1) \) est une variable normale standard (un score Z),
- \( \sqrt{\Delta t} \) ajuste l'amplitude du choc pour un pas de temps donné.
3. Copules et la loi uniforme : modélisation des dépendances entre actifs
Pourquoi la corrélation linéaire est-elle insuffisante ?
Dans un portefeuille d'actifs, la relation entre deux instruments financiers ne se limite pas à la corrélation linéaire. En période de crise, les corrélations évoluent brusquement, et une simple matrice de corrélation ne capture pas la complexité des interdépendances.
Les copules permettent de modéliser les dépendances entre plusieurs variables financières indépendamment de leurs distributions marginales.
Lien avec la loi uniforme
L'idée clé des copules est de transformer d'abord toutes les variables aléatoires en uniformes, de capturer leur dépendance dans cet espace, puis de revenir à leurs distributions d'origine.
Étapes pour construire une copule
- Transformation en uniformes : pour chaque actif \( X_i \), on applique sa CDF pour obtenir :
\[ U_i = F_i(X_i) \sim \mathcal{U}(0,1) \]
- Application d'une copule \( C(U_1, U_2, ... U_n) \) pour modéliser la dépendance.
- Transformation inverse pour retrouver les actifs d'origine.
Ainsi, derrière chaque simulation de Monte Carlo, modèle de tarification d'option ou cadre de gestion des risques, la loi uniforme joue un rôle fondamental, souvent caché mais essentiel pour une modélisation financière robuste.
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