Le modèle de Vasicek repose sur une équation différentielle stochastique (EDS) qui décrit la dynamique du taux d'intérêt à court terme, noté r(t) , au fil du temps. L'EDS de ce modèle est :
dr(t) = κ(θ - r(t)) dt + σ dW(t)
Cette formule capture plusieurs éléments clés :
- Retour à la moyenne (κ(θ - r(t)) : L'expression κ(θ - r(t)) représente le retour à la moyenne du taux d'intérêt. Le paramètre κ (kappa) est appelé "vitesse de retour à la moyenne" : plus il est élevé, plus le taux r(t) revient rapidement vers son niveau d'équilibre, θ (thêta), qui est le taux à long terme.
- Volatilité (σ dW(t)) : Le terme σ dW(t) introduit de la volatilité dans le modèle. La volatilité σ détermine l'ampleur des fluctuations aléatoires du taux d'intérêt, et dW(t) représente un processus de Wiener ou mouvement brownien, qui est une forme de "bruit blanc" pour modéliser l'aléatoire dans l'évolution des taux.
- Interaction entre déterminisme et aléatoire : La structure de l'équation signifie que le taux d'intérêt évolue de manière à la fois déterministe (retour à la moyenne) et aléatoire (volatilité). Le terme (κ(θ - r(t)) dt) attire le taux d'intérêt vers θ , tandis que σ dW(t)) ajoute de l'incertitude dans cette évolution.
Simulation du modèle de Vasicek:
Pour simuler l'évolution du taux d'intérêt à court terme sur une période donnée, vous devez suivre ces étapes :
1. Choisir un pas de temps (Δt) : Ce pas de temps doit être suffisamment petit pour capturer les fluctuations du taux d'intérêt. Par exemple, en prenant Δt = 1/365, vous simulez des mouvements quotidiens du taux sur une année (365 jours).
2. Initialiser la simulation : Stockez le taux initial, noté r(0). Si le taux initial est de 4%, alors r(0) = 0,04.
3. Simuler les mouvements du taux pour chaque pas de temps :
- Calculer dW(t) : Pour chaque pas de temps, générez une valeur aléatoire à partir d'une distribution normale standard pour représenter le mouvement brownien dW(t). Cette valeur aléatoire est importante pour simuler la composante stochastique de l'équation.
- Mettre à jour r(t): Utilisez l'équation du modèle de Vasicek pour mettre à jour le taux d'intérêt :
r(t + Δt) = r(t) + κ(θ - r(t)) * Δt + σ * dW(t)
Cela signifie que le taux d'intérêt à la période suivante est une combinaison de son taux actuel, du retour vers la moyenne, et de l'impact de la volatilité.
4.Répéter pour tous les pas de temps : Continuez ce processus pour chaque jour de la période considérée (365 jours si vous simulez sur un an).
Exemple:
Supposons les paramètres suivants :
- θ = 5% (taux d'équilibre à long terme)
- κ = 0,1 (vitesse de retour à la moyenne)
- σ = 0,2 (volatilité)
Si vous commencez avec un taux initial r(0) = 4%, alors vous pouvez simuler comment ce taux évolue chaque jour sur une période d'un an en suivant les étapes ci-dessus. Cela permet de voir comment les taux d'intérêt peuvent fluctuer autour de leur moyenne à long terme en tenant compte de la volatilité.
Le modèle de Vasicek est utilisé pour modéliser la dynamique des taux d'intérêt de manière réaliste, en tenant compte du retour à une moyenne à long terme et des fluctuations aléatoires. Sa simplicité en fait un outil très utile pour comprendre les mouvements des taux d'intérêt, et il sert de base pour de nombreux modèles financiers plus complexes.
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