Le modèle de Hull-White en termes simples

Le modèle de Hull-White, développé par John Hull et Alan White, est un cadre fondamental pour la modélisation des taux d’intérêt à court terme. Il est largement utilisé en finance pour l’évaluation des dérivés de taux d’intérêt, des obligations et d’autres instruments sensibles aux variations des taux d’intérêt. Sa flexibilité permet également son adaptation aux applications de risque de crédit, notamment pour l’évaluation des Credit Default Swaps (CDS).

Équation Fondamentale du Modèle de Hull-White

Le modèle de Hull-White suppose que le taux d’intérêt à court terme \( r(t) \) suit un processus stochastique défini par :

\[ dr(t) = \left[\theta(t) - a r(t)\right] dt + \sigma dW(t) \]

Où :

• \( r(t) \) : Taux d’intérêt à court terme à l’instant \( t \).
• \( \theta(t) \) : Terme de dérive dépendant du temps permettant d’ajuster le modèle à la courbe des taux observée.
• \( a \) : Vitesse de retour à la moyenne, contrôlant la rapidité avec laquelle \( r(t) \) revient à sa moyenne de long terme.
• \( \sigma \) : Volatilité des variations du taux d’intérêt.
• \( dW(t) \) : Processus de Wiener représentant le choc aléatoire.

Le terme \( \theta(t) \) est calibré afin d’ajuster le modèle à la structure initiale des taux d’intérêt. L’inclusion du terme de retour à la moyenne \( -a r(t) \) garantit que \( r(t) \) ne s’éloigne pas excessivement de sa moyenne de long terme.

Adaptation au Risque de Crédit

Dans les applications de risque de crédit, le modèle de Hull-White est modifié pour modéliser le taux de risque de défaut \( \lambda(t) \), qui représente la probabilité instantanée de défaut à l’instant \( t \). Ce taux d’intensité traduit l’exposition au risque de crédit à un instant donné. La probabilité de survie, c’est-à-dire la probabilité qu’aucun défaut ne survienne jusqu’à l’instant \( t \), est donnée par :

\[ P(T > t) = \exp\left(-\int_0^t \lambda(s) \, ds\right) \]

La probabilité de défaut est alors le complément de la probabilité de survie :

\[ P(T \leq t) = 1 - P(T > t) \]

Lorsque \( \lambda(t) \) est supposé constant, ces expressions se simplifient considérablement, facilitant les calculs. Toutefois, l’approche stochastique de \( \lambda(t) \) dans le cadre de Hull-White permet de prendre en compte l’évolution dynamique du risque de crédit en fonction des conditions de marché.

Exemple Numérique

Considérons un Credit Default Swap (CDS) où le taux de défaut \( \lambda(t) \) est supposé constant à 3 % par an. La maturité du CDS est de 5 ans, et nous souhaitons calculer la probabilité de survie et la probabilité de défaut après 5 ans.

En utilisant la formule de la probabilité de survie :

\[ P(T > 5) = \exp(-\lambda \cdot t) \]

En substituant \( \lambda = 0.03 \) et \( t = 5 \) :

\[ P(T > 5) = \exp(-0.03 \times 5) = \exp(-0.15) \approx 0.861 \]

La probabilité de défaut est alors :

\[ P(T \leq 5) = 1 - P(T > 5) = 1 - 0.861 = 0.139 \]

Cela signifie qu’il y a 86,1 % de chances que la contrepartie survive sur la période de 5 ans et 13,9 % de chances qu’elle fasse défaut.

Avantages du Modèle de Hull-White

Le modèle de Hull-White présente plusieurs avantages :

• Flexibilité : Le terme de dérive \( \theta(t) \) permet d’ajuster le modèle aux courbes des taux observées.
• Retour à la moyenne : L’inclusion du retour à la moyenne assure une stabilité du taux \( r(t) \) ou du taux de défaut \( \lambda(t) \).
• Calibrage aux données de marché : Il peut être ajusté aux données observées, comme les courbes des taux ou les spreads de crédit.
• Solutions analytiques : Pour certaines hypothèses, le modèle permet des solutions fermées, simplifiant les calculs.

Grâce à ces caractéristiques, le modèle de Hull-White est un outil puissant et polyvalent pour la modélisation financière, aussi bien pour les taux d’intérêt que pour le risque de crédit.