Le modèle de Hull-White, développé par John Hull et Alan White, est un modèle de forme réduite utilisé pour la valorisation des dérivés de crédit tels que les Credit Default Swaps (CDS). Dans ce modèle, le taux de défaut instantané λ(t) représente la probabilité instantanée de défaut. Ce taux de défaut est souvent modélisé comme un processus stochastique, reflétant l'incertitude et les conditions économiques changeantes au fil du temps.
La probabilité de défaut est liée au taux de défaut. La probabilité de survie, ou la probabilité qu'aucun défaut ne se produise avant un certain temps t, s'exprime comme exp(-∫₀ᵗ λ(s) ds). Par conséquent, la probabilité cumulative de défaut avant le temps t est de 1 moins cette probabilité de survie.
Un aspect clé du modèle de Hull-White est l'utilisation d'une intensité stochastique pour le taux de défaut. Cette approche offre une flexibilité dans la modélisation du processus de défaut, permettant une représentation plus réaliste de la dynamique du risque de crédit.
En termes d'application, le modèle de Hull-White est principalement utilisé pour le pricing des dérivés de crédit. Les paiements de ces dérivés dépendent de la survenue d'un événement de défaut, et le modèle offre un cadre pour estimer la valeur actuelle de ces paiements conditionnels.
Le modèle utilise une valorisation neutre au risque, ce qui signifie que les valeurs espérées des paiements sont calculées en utilisant le taux sans risque. Enfin, les paramètres du modèle de Hull-White sont généralement calibrés à partir des données de marché, comprenant les taux de défaut historiques, les spreads obligataires et les prix des dérivés de crédit.
Prenons un exemple numérique en utilisant le modèle de Hull-White pour calculer la probabilité de défaut et valoriser un Credit Default Swap (CDS) :
Hypothèses :
Taux de défaut (λ(t)) : Constant à 0,03 (ou 3%) par an.
Taux sans risque : Constant à 2% par an.
Taux de recouvrement : 40%.
Maturité du CDS : 5 ans.
Notional du CDS : 1 000 000 $.
Calculs :
1. Probabilité de survie à 5 ans : Calculée comme e^(-0,03 * 5), ce qui donne environ 0,861.
2. Probabilité cumulative de défaut à 5 ans : 1 moins la probabilité de survie, soit environ 0,139.
3. Paiements de prime du CDS : En supposant un taux de prime du CDS de 2% par an, le paiement de prime annuel est de 20 000 $.
4. Perte attendue : La perte en cas de défaut (LGD) est calculée comme (1 - Taux de recouvrement) * Notional, soit 600 000 $.
5. Valorisation du CDS : La valeur actuelle de la perte attendue est calculée en utilisant la formule LGD * Probabilité de défaut * e^(-Taux sans risque * T), ce qui donne environ 75 622 $.
La valeur actuelle des paiements de prime, calculée en sommant les paiements annuels actualisés au taux sans risque sur 5 ans, est d'environ 94 214 $.
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