Le modèle de tarification à terme expliqué simplement

Le modèle de tarification des taux terminaux (forward pricing model) garantit qu'un investisseur est indifférent entre investir à un taux spot pour une période plus longue ou investir à un taux spot sur une période plus courte et réinvestir au taux forward. Cette condition est nécessaire pour éviter les opportunités d’arbitrage et assurer l'efficacité du marché.

Le taux forward représente le rendement implicite d’un investissement qui commencera dans le futur. Il est dérivé des taux spot et garantit qu'un investisseur obtient le même rendement attendu, qu'il investisse aujourd'hui dans une obligation à long terme ou qu'il renouvelle des investissements à plus court terme au taux forward.

Les taux forward sont notés \( f(A, B - A) \), ce qui représente le taux forward convenu aujourd'hui pour un investissement qui commencera dans \( A \) années et durera \( B - A \) années. Par exemple, \( f(1,2) \) est le taux fixé aujourd’hui pour un investissement qui commencera dans un an et durera deux ans.

Expression mathématique de l'indifférence

La relation mathématique qui garantit l'indifférence entre les investissements est donnée par :

\[ (1 + z(n))^n = (1 + z(1)) \times (1 + f(1,1)) \times (1 + f(2,1)) \times ... \times (1 + f(n-1,1)) \]

où :

• \( z(n) \) est le taux spot pour un investissement d’une durée de \( n \) années.
• \( f(m, k) \) est le taux forward convenu aujourd’hui pour un investissement qui commence dans \( m \) années et dure \( k \) années.
• \( n \) est la durée totale de l’investissement.

Cette formule garantit que la valeur future d'un investissement est identique, qu'un investisseur choisisse un taux spot à long terme aujourd’hui ou réinvestisse périodiquement aux taux forward.

Exemple : Calcul des taux forward

Considérons la courbe actuelle des taux spot dans la zone euro :

• \( z(1) = 2.147507\% \) (taux spot à 1 an)
• \( z(2) = 2.074171\% \) (taux spot à 2 ans)
• \( z(3) = 2.095010\% \) (taux spot à 3 ans)

Étape 1 : Calcul de \( f(1,1) \) (taux forward à 1 an commençant dans un an)

En utilisant la formule :

\[ (1 + z(2))^2 = (1 + z(1)) \times (1 + f(1,1)) \]

En substituant les valeurs :

\[ (1.02074171)^2 = (1.02147507)^1 \times (1 + f(1,1)) \]

En résolvant pour \( f(1,1) \) :

\[ (1 + f(1,1)) = \frac{(1.02074171)^2}{(1.02147507)^1} \]

\[ f(1,1) = 2.00088\% \]

Étape 2 : Calcul de \( f(2,1) \) (taux forward à 1 an commençant dans 2 ans)

En utilisant la formule :

\[ (1 + z(3))^3 = (1 + z(2))^2 \times (1 + f(2,1)) \]

En résolvant pour \( f(2,1) \) :

\[ (1 + f(2,1)) = \frac{(1.02095010)^3}{(1.02074171)^2} \]

\[ f(2,1) = 2.1367\% \]

Étape 3 : Calcul de \( f(1,2) \) (taux forward à 2 ans commençant dans un an)

En utilisant la formule :

\[ (1 + z(3))^3 = (1 + z(1)) \times (1 + f(1,2))^2 \]

En résolvant pour \( f(1,2) \) :

\[ (1 + f(1,2))^2 = \frac{(1.02095010)^3}{(1.02147507)} \]

\[ f(1,2) = 2.06877\% \]

Pourquoi les investisseurs devraient-ils être indifférents ?

Le modèle de tarification des taux forward garantit que les investisseurs obtiennent le même rendement attendu, qu’ils investissent au taux spot à long terme ou qu’ils investissent à court terme en réinvestissant aux taux forward. Si cette relation ne tenait pas :

• Les investisseurs pourraient emprunter à un taux plus bas et réinvestir à un taux forward plus élevé, réalisant des profits sans risque.
• Un tel arbitrage perturberait l'efficacité du marché et entraînerait un mauvais pricing des obligations et des produits de taux.

En assurant cet équilibre, le marché maintient une tarification juste des obligations et des instruments de taux d'intérêt.

Notes

1. Le taux forward \( f(1,1) \) représente le taux fixé aujourd’hui pour un investissement qui commencera dans un an et durera un an.