Le lien entre les distributions marginales et les distributions conjointes en termes simples

Lorsqu'on explore la probabilité d'événements, tels que les défauts de paiement sur les obligations, il est primordial de comprendre que connaître les probabilités individuelles, ou les distributions marginales, de chaque défaut d'obligation ne nous informe pas nécessairement sur la probabilité que plusieurs obligations fassent défaut en même temps. Ce concept est essentiel car, même si deux ensembles d'obligations ont des probabilités marginales identiques, leurs probabilités conjointes peuvent différer considérablement en fonction de la corrélation entre leurs défauts.
 
Les distributions marginales nous renseignent sur le comportement individuel de chaque variable (dans ce cas, la probabilité de défaut de chaque obligation) sans tenir compte des autres variables. Par exemple, si l'Obligation 1 et l'Obligation 2 ont toutes deux 50 % de chances de faire défaut, il s'agit de leurs probabilités marginales. Cependant, ces probabilités ne révèlent pas comment le défaut de l'Obligation 1 pourrait être influencé par ou corrélé avec le défaut de l'Obligation 2.
La distribution conjointe, en revanche, nous informe sur la probabilité de diverses combinaisons de ces événements se produisant simultanément. Si les obligations sont indépendantes, comme dans le Scénario 1, leur distribution de probabilité conjointe reflète simplement le produit de leurs probabilités marginales. Ici, la table de probabilité conjointe reflète cette indépendance :
 
B_1 B_2            0 (Pas de défaut)    1 (Défaut)     P(B_1)
   0                      0.25                     0.25           0.5
   1                      0.25                      0.25          0.5
P(B_2)                0.5                        0.5

 

Cependant, si nous considérons le Scénario 2, où l'Obligation 3 et l'Obligation 4 sont parfaitement corrélées, la distribution de probabilité conjointe change radicalement, bien que les probabilités marginales restent les mêmes que dans le premier scénario.
Dans ce cas, le défaut de l'Obligation 3 garantit le défaut de l'Obligation 4, et vice versa, ce qui conduit à une distribution conjointe qui se concentre sur les extrêmes, sans probabilité répartie entre eux :
 
B_3 B_4     0 (Pas de défaut)    1 (Défaut)     P(B_3)
   0                     0.5                  0                     0.5
   1                      0                    0.5                  0.5
P(B_4)               0.5                  0.5

 

Ce contraste entre les Scénarios 1 et 2 illustre une vérité statistique fondamentale : des distributions marginales identiques ne garantissent pas la même distribution conjointe. La structure de dépendance sous-jacente, qui peut être modélisée à l'aide de copules, joue un rôle crucial dans la formation de la distribution conjointe.

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