La Hessienne en finance expliqué simplement

Le Hessien en Finance Expliqué Simplement

La matrice Hessienne, une matrice carrée des dérivées partielles du second ordre, est essentielle pour l'optimisation et la tarification des produits dérivés.

Elle joue un rôle clé dans la détermination de la courbure des fonctions, ce qui est crucial en finance pour l'optimisation de portefeuille, la gestion des risques et l'évaluation des dérivés.

Pour une fonction scalaire \( f(\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n) \), le Hessien \( H \) est structuré comme suit :

\[ H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_1 \partial \theta_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_1 \partial \theta_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_2 \partial \theta_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_2^2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_2 \partial \theta_n} \\ ... \\ \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_n \partial \theta_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_n \partial \theta_2} & ... & \frac{\partial^2 f}{\partial \theta_n^2} \end{bmatrix} \]

Cette matrice capture non seulement la sensibilité d'une fonction aux changements de variables individuelles, mais aussi comment les changements d'une variable influencent une autre.

Optimisation et Points Critiques

En optimisation, la matrice Hessienne permet de classifier les points critiques en analysant ses valeurs propres (valeurs scalaires) et ses vecteurs propres (directions).

Pour une matrice Hessienne \( H \), un vecteur propre est un vecteur non nul \( v \) qui, lorsqu'il est multiplié par \( H \), ne change que de grandeur :

\[ Hv = \lambda v \]

où \( \lambda \) est la valeur propre.

La valeur propre \( \lambda \) quantifie la courbure de la fonction le long du vecteur propre \( v \) :

• \( \lambda > 0 \) : La fonction est convexe (minimum local).
• \( \lambda < 0 \) : La fonction est concave (maximum local).
• \( \lambda = 0 \) : Pas de courbure, suggérant un point selle ou un point d'inflexion.

Si toutes les valeurs propres sont positives, la fonction a un minimum local strict.

Si certaines sont positives et d'autres négatives, il s'agit d'un point selle, où la fonction augmente dans certaines directions et diminue dans d'autres.

Approximation Quadratique

L'approximation quadratique autour d'un point \( \theta_0 \) est :

\[ f(\theta) \approx f(\theta_0) + [\nabla f(\theta_0)]^T (\theta - \theta_0) + 0.5 ( \theta - \theta_0)^T H(\theta_0) (\theta - \theta_0) \]

Le terme \( 0.5 (\theta - \theta_0)^T H( \theta - \theta_0) \) contient les dérivées secondes, capturant les interactions entre variables.

Les valeurs propres de \( H \) déterminent si ce terme augmente (\( \lambda > 0 \)) ou diminue (\( \lambda < 0 \)) dans certaines directions.

Couverture Gamma

1. Cas Univarié (Un seul sous-jacent \( S \))

Pour un prix d'option \( V(S) \) dépendant d'un seul actif sous-jacent \( S \), le Gamma (\( \Gamma \)) mesure la convexité :

• \( \Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \).
• \( \Gamma > 0 \) : Convexité positive, nécessitant des ajustements fréquents de la couverture Delta.
• \( \Gamma < 0 \) : Convexité négative, rendant la couverture instable, comme dans certaines options barrières.

2. Cas Multivarié (Plusieurs sous-jacents \( S_1, S_2, ..., S_n \))

Pour des options dépendant de plusieurs sous-jacents, le Hessien du prix de l'option \( V \) généralise le Gamma en une matrice :

\[ H(V) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 V}{\partial S_1^2} & ... & \frac{\partial^2 V}{\partial S_1 \partial S_n} \\ ... \\ \frac{\partial^2 V}{\partial S_n \partial S_1} & ... & \frac{\partial^2 V}{\partial S_n^2} \end{bmatrix} \]

Les valeurs propres de \( H(V) \) déterminent la convexité ou la concavité du prix de l'option selon les directions spécifiques (vecteurs propres).

Convexité uniforme (toutes \( \lambda > 0 \)) : Simplifie la couverture.

Valeurs propres mixtes : Imposent une couverture multi-directionnelle.