Le développement de Taylor en termes simples

En finance quantitative, où les modèles complexes sont la norme, le développement de Taylor offre un moyen d'approximer ces modèles par des formes plus simples. Cette technique est essentielle pour une prise de décision rapide en trading, l'analyse de sensibilité, le pricing d'instruments exotiques, et dans les méthodes numériques.

 

Imaginez que vous faites de la randonnée en montagne, et à un moment donné, vous voulez prédire l'altitude des prochains pas. Si la montagne est parfaitement plate là où vous êtes, vous supposeriez que l'altitude reste la même. Si elle monte, vous vous attendez à une augmentation de l'altitude en avançant, et s'il y a une courbe ou un virage, votre prédiction en tiendrait également compte.

 

Le développement de Taylor fait essentiellement la même chose pour les fonctions, en utilisant des dérivées :

 

• 0ème ordre : Le premier terme, ou terme d'ordre zéro, de la série de Taylor est simplement la valeur de la fonction en ce point. C'est comme dire : "En me basant sur l'endroit où je suis, j'estime que l'altitude autour de moi est la même qu'ici."
• 1er ordre : Le terme du premier ordre implique la première dérivée (la pente). Cela tient compte de l'augmentation ou de la diminution de la fonction à ce point. C'est comme remarquer que le sentier de la montagne monte, donc vous vous attendez à grimper en avançant.
• 2ème ordre : Le terme du deuxième ordre considère la seconde dérivée, qui donne une idée de la courbure ou de la concavité de la fonction. Cela revient à observer la façon dont le sentier se courbe ou s'incline.
• Ordres supérieurs : En ajoutant des termes d'ordre supérieur, vous tenez compte de courbes, ondulations et comportements plus subtils de la fonction.

 

Le développement de Taylor consiste à approximer localement une fonction à l'aide de polynômes (qui sont plus simples à manipuler), en commençant par l'approximation la plus basique (une simple ligne horizontale) et en ajoutant de la complexité (pentes, courbes, etc.) à mesure que l'on intègre des termes d'ordre supérieur.

 

Plus l'ordre du terme est élevé, plus il capture des comportements subtils et détaillés de la fonction.

 

Prenons la fonction f(x) = e^(-x^2), qui représente la courbe en cloche ou fonction gaussienne. Cette fonction est fondamentale en théorie des probabilités et statistiques, mais elle est notoirement difficile à intégrer.

 

Approximons la fonction près de x = 0 en utilisant le développement de Taylor:

 

1. Ordre zéro :

f(0) = e^0 = 1

 

2. Première dérivée :

f'(x) = -2x e^(-x^2)

 

À x=0, f'(0) = 0. Cela indique qu'il n'y a ni croissance ni déclin à x = 0, comme prévu pour le sommet d'une courbe en cloche.

 

3. Seconde dérivée :

 

f''(x) = (4x^2 - 2) e^(-x^2)

À x=0, f''(0) = -2. Une dérivée seconde négative indique que la fonction est concave vers le bas à x = 0.

 

D'après le développement de Taylor, la fonction approximative près de x=0 est :

 

f(x) approx 1 - x^2

 

Il s'agit d'une parabole qui fournit une représentation simplifiée de notre courbe en cloche près de x=0.

 

Plus on va loin dans les dérivées, plus l'information obtenue sur le comportement de la fonction à proximité de ce point est affinée et détaillée.