Imaginez que vous êtes sur un sentier de randonnée. En marchant, le chemin monte et descend, parfois doucement, parfois avec des secousses soudaines. Si vous voulez décrire à quel point le sentier est irrégulier ou lisse, vous aurez besoin d'une méthode pour mesurer ces variations tout au long de votre parcours. La "variation quadratique" est un outil mathématique permettant de mesurer cette "irrégularité".
Dans le monde de la finance, au lieu de sentiers de randonnée, ce sont les prix des actions ou d'autres actifs financiers qui montent et descendent avec le temps. Pour comprendre et anticiper ces mouvements de prix, en particulier dans un contexte où les prix peuvent changer très rapidement (comme dans le trading haute fréquence), les traders et chercheurs utilisent la variation quadratique pour évaluer la volatilité ou l'"irrégularité" des variations de prix.
La variance et la variation quadratique mesurent toutes deux la variabilité ou la "dispersion" des données, mais elles diffèrent dans leur utilisation et leur méthode de calcul :
- Variance : Pour un ensemble de données, vous calculez la différence entre chaque point et la moyenne, puis vous la mettez au carré et prenez la moyenne de ces différences au carré.
- Variation quadratique : Plutôt que de se concentrer sur l'écart par rapport à la moyenne, on met au carré les variations entre des points de données consécutifs et on les additionne.
En finance, le mouvement brownien (ou processus de Wiener) est un modèle mathématique qui décrit des mouvements aléatoires au fil du temps, tels que les fluctuations des prix d’actions. Imaginez une particule flottant dans un liquide, se déplaçant de manière aléatoire : c'est une analogie du mouvement brownien dans le monde réel.
Si vous observiez la trajectoire de cette particule (ou les fluctuations des prix d’actions) pour mesurer son "irrégularité" ou sa volatilité, vous utiliseriez la variation quadratique.
Pour un mouvement brownien standard, W(t), sur un intervalle de temps [0, T], la variation quadratique est simplement égale à T. Cela signifie que la somme des carrés des variations, à mesure que l’intervalle de temps est divisé en segments de plus en plus petits, tend vers T.
Cette propriété est unique et cruciale pour distinguer le mouvement brownien d’autres types de processus stochastiques.
Lors de la modélisation des marchés financiers, en particulier pour le pricing des options, on suppose souvent que les variations de prix d’un actif suivent un mouvement brownien (plus une dérive, ce qui donne le modèle de mouvement brownien géométrique). C’est au cœur du célèbre modèle de Black-Scholes pour le pricing des options.
En comprenant la variation quadratique du mouvement brownien, les mathématiciens financiers peuvent tirer des conclusions éclairées sur le comportement, le risque, et le pricing potentiel des instruments financiers.
En résumé, la variation quadratique aide à mesurer l’imprévisibilité ou l’"irrégularité" des mouvements des actifs financiers, ce qui est essentiel pour les traders et les chercheurs qui cherchent à comprendre les comportements de marché.
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