La variance du mouvement brownien en termes simples

Le mouvement brownien, souvent mentionné dans les domaines de la physique, des mathématiques et de la finance, peut être un concept difficile à appréhender. Il s'agit de la trajectoire apparemment aléatoire qu'une particule trace dans un milieu liquide ou gazeux, souvent comparée au mouvement imprévisible des particules de pollen dans l'eau.

Au cœur de ce processus stochastique se trouvent des règles mathématiques spécifiques, dont l'une des plus fascinantes est que sa variance est directement proportionnelle au temps.

Avant d’aborder la relation entre sa variance et le temps, il est essentiel de comprendre ce qu’est le mouvement brownien. Nommé d'après le botaniste Robert Brown, qui a observé le mouvement erratique de grains de pollen dans l'eau au microscope, le mouvement brownien sert de modèle fondamental en calcul stochastique.

Son application la plus connue est probablement dans le modèle de Black-Scholes en finance, utilisé pour le calcul des prix des options.

Un mouvement brownien standard, symbolisé par \( W_t \), possède les propriétés suivantes :

• Point de départ : \( W_0 = 0 \). Cela signifie que le mouvement brownien commence toujours à zéro.
• Distribution normale des incréments (*): Pour tout intervalle de temps \( s \) et \( t \) où \( s < t \), l'incrément \( W_t - W_s \) suit une distribution normale avec :

\[ W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t - s) \]

Cela signifie que sa moyenne est 0 et que sa variance est égale à \( t - s \).

La caractéristique fascinante du mouvement brownien est la proportionnalité directe entre sa variance et le temps. En termes simples, l'aléa ou la dispersion de la trajectoire du mouvement brownien augmente avec la durée d’observation.

Mathématiquement, nous avons :

\[ \text{Var}(W_t) = t \]

Imaginez suivre la trajectoire d'une particule sur des intervalles de 1 seconde puis de 5 secondes. L'imprévisibilité et les chemins possibles que la particule peut emprunter en 5 secondes dépassent largement ceux observés sur l'intervalle plus court de 1 seconde. Plus l'observation dure, plus sa position devient incertaine et dispersée.

La variance dépendante du temps du mouvement brownien a des implications profondes, notamment en finance. Lors de la modélisation des prix des actions ou des taux d'intérêt, l'incertitude ou le risque associés aux horizons de temps plus longs deviennent évidents lorsque l'on utilise le mouvement brownien.

Pour les traders et les investisseurs, cela peut se traduire par des récompenses potentielles accrues, mais aussi par des risques plus élevés.

(*) Le terme « incrément » désigne souvent la variation d'une variable ou d'un processus sur un intervalle de temps donné, notamment dans le contexte des processus stochastiques.

Par exemple, l'incrément du prix d'une action entre deux instants correspond simplement à la différence de sa valeur entre ces deux moments.