La probabilité conjointe de défaut en termes simples

Il est essentiel de comprendre le risque de défaillance simultanée de plusieurs entités, en particulier lorsqu'il s'agit de dérivés de crédit tels que les basket credit default swaps. La probabilité conjointe de défaut et sa corrélation sont des éléments clés pour comprendre ce risque.

1. Formule de la corrélation entre défauts

La corrélation entre deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par la formule :

\[ \text{corrélation}(X, Y) = \frac{\text{covariance}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \]

où :

• \(\text{covariance}(X, Y)\) est la covariance entre \(X\) et \(Y\).
• \(\sigma_X\) et \(\sigma_Y\) sont les écarts-types de \(X\) et \(Y\).

2. Covariance entre indicateurs de défaut

Pour les événements de défaut, on traite souvent des variables indicatrices \(1_A\) et \(1_B\) qui prennent la valeur \(1\) si le défaut se produit et \(0\) sinon. La covariance entre ces variables indicatrices peut être définie comme suit :

\[ \text{cov}(1_A, 1_B) = \mathbb{E}[1_A \cdot 1_B] - \mathbb{E}[1_A] \cdot \mathbb{E}[1_B] \]

avec :

• \(\mathbb{E}[1_A] = p(A)\) est la probabilité de défaut de l'entité \(A\).
• \(\mathbb{E}[1_B] = p(B)\) est la probabilité de défaut de l'entité \(B\).
• \(\mathbb{E}[1_A \cdot 1_B] = p(A \cap B)\) est la probabilité conjointe de défaut de \(A\) et \(B\).

3. Variance et corrélation des défauts

Pour un événement de défaut \(A\), où \(x_i\) peut être \(0\) ou \(1\) :

\[ \mathbb{E}[1_A] = 1 \cdot p(A) + 0 \cdot (1 - p(A)) = p(A) \]

La variance est définie comme l’espérance du carré de l’écart à la moyenne :

\[ \text{Var}(1_A) = \mathbb{E}[(1_A - p(A))^2] \]

Comme \(1_A\) peut être \(0\) ou \(1\), on développe cette formule :

\[ \text{Var}(1_A) = p(A) \cdot (1 - p(A))^2 + (1 - p(A)) \cdot (0 - p(A))^2 \]

En simplifiant :

\[ \text{Var}(1_A) = p(A) \cdot (1 - p(A)) \]

4. Corrélation et probabilité conjointe de défaut

En utilisant ces définitions, la corrélation des défauts peut être exprimée comme :

\[ \text{corr}(A, B) = \frac{p(A \cap B) - p(A) p(B)}{\sqrt{(p(A) (1 - p(A)) p(B) (1 - p(B)))}} \]

Et la probabilité conjointe de défaut est donnée par :

\[ p(A \cap B) = \text{corr}(A, B) \cdot \sqrt{p(A) (1 - p(A)) p(B) (1 - p(B))} + p(A) p(B) \]

5. Exemple d’application

Considérons un investissement égal de **5 millions de dollars** dans deux obligations \(B_1\) et \(B_2\) avec les paramètres suivants :

• Probabilité de défaut pour les deux obligations : \(p(A) = p(B) = 0.05\) (5 %).
• Corrélation de défaut : \(\text{corr}(A, B) = 0.3\).
• Taux de recouvrement : \(0\).

La probabilité conjointe de défaut est calculée comme suit :

\[ p(A \cap B) = 0.3 \cdot \sqrt{(0.05 \cdot 0.95) (0.05 \cdot 0.95)} + 0.05 \cdot 0.05 = 0.1675 \]

La perte attendue est donc :

\[ p(A \cap B) \times 10M = 0.1675 \times 10M = 167 500 \text{ dollars}. \]

6. Note de bas de page

^[1] Lorsqu’on calcule la variance, “prendre l’espérance” signifie faire une moyenne pondérée des écarts au carré par rapport à la moyenne, selon les probabilités associées à chaque valeur possible. Ainsi, la variance mesure la dispersion des valeurs en tenant compte de leur probabilité de se produire.