Il est essentiel de comprendre le risque de défaillance simultanée de plusieurs entités, en particulier lorsqu'il s'agit de dérivés de crédit tels que les basket credit default swaps. La probabilité conjointe de défaut et sa corrélation sont des éléments clés pour comprendre ce risque.
1. Formule de la corrélation entre défauts
La corrélation entre deux variables aléatoires
où :
est la covariance entre et . et sont les écarts-types de et .
2. Covariance entre indicateurs de défaut
Pour les événements de défaut, on traite souvent des variables indicatrices
avec :
est la probabilité de défaut de l'entité . est la probabilité de défaut de l'entité . est la probabilité conjointe de défaut de et .
3. Variance et corrélation des défauts
Pour un événement de défaut
La variance est définie comme l’espérance du carré de l’écart à la moyenne :
Comme
En simplifiant :
4. Corrélation et probabilité conjointe de défaut
En utilisant ces définitions, la corrélation des défauts peut être exprimée comme :
Et la probabilité conjointe de défaut est donnée par :
5. Exemple d’application
Considérons un investissement égal de **5 millions de dollars** dans deux obligations
- Probabilité de défaut pour les deux obligations :
(5 %). - Corrélation de défaut :
. - Taux de recouvrement :
.
La probabilité conjointe de défaut est calculée comme suit :
La perte attendue est donc :
6. Note de bas de page
[1] Lorsqu’on calcule la variance, “prendre l’espérance” signifie faire une moyenne pondérée des écarts au carré par rapport à la moyenne, selon les probabilités associées à chaque valeur possible. Ainsi, la variance mesure la dispersion des valeurs en tenant compte de leur probabilité de se produire.
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