La corrélation entre les tranches de CDO en termes simples

L'évaluation du risque dans les CDO repose sur deux concepts clés : la théorie des probabilités et la corrélation entre les actifs sous-jacents. Alors que la théorie des probabilités permet d’analyser la probabilité d’événements de défaut individuels, la corrélation mesure à quel point ces défauts sont liés.

Les CDO, structurés en tranches senior¹, mezzanine et equity, supportent des niveaux de risque variables en fonction de leur priorité dans l’absorption des pertes. Le risque est intrinsèquement lié aux probabilités de défaut des actifs sous-jacents, tels que les prêts ou les obligations. Dans ce contexte, la fréquence relative des défauts selon différents scénarios de corrélation devient un point central de l’évaluation des risques.

Selon la théorie des probabilités, la probabilité que deux événements indépendants se produisent ensemble est inférieure à la probabilité que chacun se produise séparément. Mathématiquement, si \( P(A) \) est la probabilité de l’événement A et \( P(B) \) est la probabilité de l’événement B, alors la probabilité que les deux se produisent simultanément, en supposant leur indépendance, est donnée par :

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Ce principe est fondamental pour comprendre la répartition des risques dans les CDO. Par exemple, si la probabilité que l’événement A se produise est de 0,2 et que la probabilité que l’événement B se produise est de 0,3, alors la probabilité que A et B se produisent ensemble est :

\[ P(A \cap B) = 0.2 \cdot 0.3 = 0.06 \]

Cette probabilité (0,06) est bien inférieure à la probabilité que chaque événement se produise individuellement (0,2 et 0,3).

Corrélation et son impact sur le risque entre les défauts de divers actifs dans un CDO peut influencer significativement le profil de risque global. Une corrélation élevée signifie que les défauts sont susceptibles de se produire simultanément, entraînant potentiellement des pertes importantes et simultanées. À l’inverse, une faible corrélation suggère que les défauts surviennent de manière plus indépendante.

Scénarios de faible corrélation impliquent que les défauts des actifs individuels sont largement indépendants. Bien que le risque individuel de défaut demeure inchangé, la probabilité que plusieurs actifs fassent défaut simultanément est relativement plus faible. Cela entraîne une fréquence plus élevée de pertes de faible ampleur, affectant principalement la tranche equity ou junior. Dans de tels scénarios, les tranches seniors sont protégées des pertes immédiates grâce à la dispersion du risque entre plusieurs défauts indépendants.

Scénarios de forte corrélation signifient une fréquence relative de défauts plus faible, mais avec une gravité potentiellement plus élevée. Ici, les défauts simultanés peuvent rapidement éroder les coussins des tranches subordonnées, exposant ainsi même les tranches seniors à un risque significatif.

\[ \rho = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \]

Bien que la corrélation linéaire, comme exprimée ci-dessus, fournisse des indications sur les mouvements moyens communs, elle ne parvient souvent pas à capturer la dépendance extrême, qui joue un rôle critique dans les scénarios de marché extrêmes. La dépendance extrême mesure la probabilité que des pertes importantes surviennent simultanément et est particulièrement pertinente pour évaluer le risque systémique dans les CDO.

\[ \lambda_L = \lim_{q \to 0^+} P(Y < F_Y^{-1}(q) \mid X < F_X^{-1}(q)) \]

Cette formule définit le coefficient de dépendance extrême inférieure, quantifiant la probabilité d’événements extrêmes conjoints dans les queues de distribution.

L'importance de la dépendance extrême ne peut être sous-estimée en modélisation du risque de crédit, car les défauts ont tendance à se regrouper lors des crises, amplifiant les pertes. Contrairement à la corrélation, la dépendance extrême prend explicitement en compte ces co-mouvements dans les scénarios extrêmes, offrant un cadre plus robuste pour l’évaluation du risque des CDO.

Implications pratiques : Les modèles basés uniquement sur la corrélation peuvent sous-estimer le risque systémique lorsque les défauts présentent une forte dépendance extrême. Par exemple, les copules gaussiennes, qui supposent l’absence de dépendance extrême, peuvent ne pas capturer les effets de contagion observés lors des crises financières, conduisant à une sous-estimation du risque dans les tranches seniors.

Pour pallier cette limitation, il est nécessaire d’intégrer des copules comme la copule de Clayton, qui modélise la dépendance extrême asymétrique et offre une représentation plus réaliste de l’agrégation des défauts.

\[ C(u, v; \theta) = (u^{-\theta} + v^{-\theta} - 1)^{-1/\theta}, \quad \theta > 0 \]

Reconnaître les limites de la corrélation linéaire et mettre l’accent sur la dépendance extrême permet aux analystes de développer des modèles reflétant mieux les risques réels, améliorant ainsi la précision du pricing et la résilience des portefeuilles.

Notes :

¹ En établissant un parallèle avec les normes sociétales où nous accordons une priorité à la protection de nos aînés, dans les structures de CDO, les tranches "senior" sont également protégées en étant moins subordonnées et donc moins exposées aux premières pertes.