Du noyau mathématique à son rôle en finance expliqué simplement

Le noyau est un concept fondamental de l’algèbre linéaire, au cœur de l’analyse des transformations linéaires. Dans un cadre mathématique général, il désigne l’ensemble des vecteurs d’un espace vectoriel qui sont envoyés sur le vecteur nul par une application linéaire. En d’autres termes, le noyau représente les éléments “annulés” par cette transformation, formant un sous-espace vectoriel. Cet article explore la définition mathématique du noyau, son interprétation géométrique et son rôle pratique dans les modèles financiers.

 

Le noyau : cadre mathématique et propriétés

 

Formellement, le noyau d’une application f, noté ker(f), est défini comme l’ensemble des vecteurs V appartenant à E tels que f(v)=0, 0 où est le vecteur nul de l’espace d’arrivée.

 

Cela s’écrit :

 

ker(f) = { v dans E tel que f(v) = 0 }

 

Ce sous-espace vectoriel contient tous les vecteurs “écrasés” par la transformation . Par exemple, si est une projection d’un espace tridimensionnel sur un plan, le noyau contient les vecteurs orthogonaux à ce plan. La dimension du noyau joue un rôle clé : elle détermine combien de directions de l’espace original sont réduites à zéro. Cette relation est encadrée par le théorème du rang, qui stipule :

 

dim(ker(f)) + rang(f) = dim(E)

 

où rang(f) représente le nombre de dimensions “effectivement” préservées par la transformation.

 

Dans le cas particulier d’une matrice , qui représente une application linéaire, le noyau correspond à l’ensemble des solutions de l’équation :

 

A * x = 0

 

Géométriquement, ce noyau représente les vecteurs qui restent dans un sous-espace invariant sous l’action de À. Si ker(A) = {0}, cela indique que est injective [1], c’est-à-dire qu’elle ne perd aucune information.

 

Noyau et modèles financiers

 

Dans les modèles financiers, le noyau joue un rôle subtil mais fondamental en révélant des inefficacités, des redondances ou des zones de perte d’information. L’un des exemples les plus marquants se trouve dans l’analyse des actifs corrélés. Considérons une matrice de covariance Σ, souvent utilisée en gestion de portefeuille pour modéliser les relations entre les actifs financiers. Si Σ est une matrice carrée représentant les variances et covariances des rendements d’un ensemble d’actifs, elle agit comme une application linéaire qui transforme les pondérations d’un portefeuille, notées w, en un vecteur représentant le risque associé. 

 

Cette transformation s’écrit :

 

Σ * w = vecteur des risques

 

Le noyau de Σ, noté ker(Σ), contient les vecteurs w tels que :

 

Σ * w = 0

 

Ces vecteurs représentent des combinaisons linéaires d’actifs parfaitement corrélés ou redondants, c’est-à-dire des portefeuilles qui n’ajoutent aucun risque additionnel. Si ker(Σ) ≠ {0}, cela signifie qu’il existe des relations linéaires entre certains actifs, traduisant une redondance dans les données. En pratique, cela peut orienter un gestionnaire de portefeuille à éliminer certains actifs pour éviter de sur-pondérer des positions déjà couvertes par d’autres.

 

Rendements et portefeuilles constants

 

Un autre exemple se trouve dans la transformation des valeurs d’actifs en rendements relatifs. Si représente un vecteur de valeurs et les rendements, une transformation linéaire typique est définie comme :

 

f(P) = (P - P_0) / P_0

 

où P_0 est le vecteur des valeurs initiales. Le noyau de cette transformation est constitué des portefeuilles P tels que :

 

P = P_0

 

Cela correspond à des portefeuilles constants sans variation de valeur, donc sans rendements à mesurer. Cette perte d’information est une caractéristique fondamentale du noyau.

 

Optimisation de portefeuille

 

Le noyau apparaît également dans des contextes plus complexes, comme l’optimisation de portefeuille selon la théorie de Markowitz. Ici, on cherche à minimiser un risque (par exemple, la variance totale) sous certaines contraintes, comme le fait que les pondérations w des actifs doivent sommer à un. La résolution de ce problème fait souvent intervenir la matrice de covariance Σ. Si Σ est mal conditionnée (par exemple, si certains actifs sont trop fortement corrélés), son noyau indique les directions dans l’espace des pondérations qui n’affectent pas le risque total. Cela permet non seulement de simplifier les calculs mais aussi de mieux interpréter les résultats, en identifiant les facteurs inutiles ou redondants.

 

Une autre utilisation se trouve dans l’analyse en composantes principales (ACP), une méthode statistique pour réduire la dimensionnalité des données financières. En finance, l’ACP peut être utilisée pour simplifier la matrice de covariance en ne retenant que les directions principales (celles avec une variance significative). Le noyau de la matrice projetée révèle alors les directions qui n’ajoutent aucune information significative, permettant de réduire le modèle sans perte majeure.

 

Le noyau, bien que conceptuellement abstrait, a des implications concrètes et puissantes en finance. Il permet d’identifier des zones de perte ou de redondance dans les modèles financiers, tout en offrant un cadre mathématique rigoureux pour optimiser les portefeuilles, réduire la dimensionnalité des données ou analyser les relations entre actifs. 

 

[1]

Une application linéaire est dite injective si :

 

f(v_1) = f(v_2) implique v_1 = v_2

 

Cela signifie que des vecteurs distincts dans l’espace de départ restent distincts dans l’espace d’arrivée . Une transformation injective ne “fusionne” donc pas de vecteurs distincts en un même résultat.