Les Collateralized Debt Obligations (CDO) regroupent des prêts ou des dettes en tranches de niveaux de risque variés, offrant des rendements différents. La tarification des CDO nécessite des modèles sophistiqués pour évaluer les risques et les corrélations entre les actifs. La décomposition de Cholesky est un outil mathématique clé dans ce contexte.
Les modèles de copules sont utilisés pour capturer la dépendance entre plusieurs variables aléatoires. Dans le contexte des CDO, ces variables modélisent les occurrences de défauts pour différentes entités d’un portefeuille. La matrice de corrélation Σ joue un rôle central en capturant les relations de dépendance entre ces entités. (*)
Bien que la matrice de corrélation Σ contienne toutes les informations sur les corrélations, elle ne permet pas directement de générer des vecteurs de variables corrélées à partir de variables indépendantes. La décomposition de Cholesky résout ce problème en fournissant une méthode pour transformer des variables indépendantes en variables corrélées.
On commence par générer un vecteur Z de variables normales indépendantes standards, où chaque composant Z_i suit une distribution normale standard N(0, 1).
En multipliant le vecteur Z par la matrice L obtenue par décomposition de Cholesky, on obtient un vecteur Y de variables corrélées :
Y = L * Z
Cette transformation impose aux variables Y les corrélations spécifiées par Σ.
Les zéros dans la partie triangulaire supérieure droite de la matrice L signifient que chaque nouvelle variable corrélée est construite en utilisant uniquement les variables indépendantes précédentes. Cela assure une construction séquentielle des corrélations, facilitant le contrôle et la simulation des dépendances entre les variables.
Dans la tarification des CDO, la décomposition de Cholesky est utilisée pour simuler des scénarios de défauts corrélés. Les étapes typiques comprennent :
1. L’utilisation de copules pour modéliser les dépendances entre les probabilités de défaut des entités.
2. La génération de vecteurs de défauts corrélés via la décomposition de Cholesky.
3. Le calcul des pertes attendues pour chaque tranche de CDO en fonction des scénarios de défaut simulés.
Supposons que nous ayons un portefeuille de trois entreprises avec les corrélations suivantes :
Σ = [ [1, 0.8, 0.5], [0.8, 1, 0.3], [0.5, 0.3, 1] ]
La décomposition de Cholesky de cette matrice donne L :
L = [ [1, 0, 0], [0.8, 0.6, 0], [0.5, -0.1667, 0.8492] ]
En générant des vecteurs de défauts indépendants Z et en les transformant via Y = L * Z, on obtient des vecteurs de défauts corrélés. Ces vecteurs sont ensuite utilisés pour estimer les pertes dans les différentes tranches de CDO.
(*) La dépendance fait référence à toute relation entre deux variables, qu'elle soit linéaire ou non, tandis que la corrélation mesure spécifiquement la force et la direction d'une relation linéaire entre deux variables.
À propos de l'auteur
Florian Campuzan, diplômé de Sciences Po Paris (section économique et financière) et titulaire d'une licence en économie (monnaie et finance), est également détenteur de la certification CFA et agréé AMF. Il a débuté sa carrière dans le private equity et le capital-risque en tant que responsable d’investissement chez Natixis avant de se tourner vers la finance de marché comme trader pour compte propre. Au début des années 2010, il a fondé Finance Tutoring, une société spécialisée dans la formation et le conseil en finance de marché et finance d’entreprise.
Depuis plus de 12 ans, Florian anime des formations en finance, conseille des institutions financières et des groupes industriels sur la gestion des risques, et prépare les candidats à la certification AMF ainsi qu’à l’examen CFA. Passionné par la finance quantitative et l'application des mathématiques à la finance, il s'attache à rendre les concepts complexes intuitifs, convaincu que la maîtrise de tout sujet commence par une compréhension claire de son intuition fondamentale.
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