Comprendre la distribution de Poisson en termes simples

La distribution de Poisson, nommée d’après le mathématicien français Siméon-Denis Poisson, est un outil fondamental en finance pour modéliser des événements rares tels que les défauts de crédit dans un portefeuille de prêts. Elle permet d’estimer la probabilité d’observer un certain nombre de défauts sur une période donnée.

Dans cet article, nous allons expliquer la formule de la distribution de Poisson, l’impact de la modification de ses paramètres sur les probabilités et pourquoi elle est essentielle dans la modélisation du risque financier.

1. Comprendre la formule

La probabilité d’observer exactement X défauts sur une période t, étant donné un taux de défaut moyen λ, est donnée par :

\[ P(X) = \frac{(λ t)^X \cdot e^{-λ t}}{X!} \]

où :

• λ représente le nombre moyen de défauts par an.
• t est la période d’observation en années.
• X est le nombre de défauts observés.
• e^{-λ t} représente la probabilité de n’observer aucun défaut.
• (λ t)^X pondère la probabilité en fonction du nombre attendu de défauts.
• X! normalise la distribution pour éviter les doubles comptages.

2. Effet de l’augmentation de λ (taux de défaut) en gardant t et X constants

Nous augmentons λ, tout en fixant t = 1 et X = 1 :

• λ = 1 → P(1) ≈ 36,79%
• λ = 2 → P(1) ≈ 27,07%
• λ = 5 → P(1) ≈ 3,37%
• λ = 10 → P(1) ≈ 0,045%

Lorsque λ augmente, la probabilité d’observer exactement un défaut chute fortement. Un taux de défaut plus élevé rend plusieurs défauts plus probables. La décroissance exponentielle (exp -λ * t) fait en sorte que les faibles valeurs deviennent de moins en moins probables.

3. Effet de l’augmentation de t (période d’observation) en gardant λ et X constants

Nous fixons λ = 1 et X = 1, puis nous augmentons t :

• t = 1 an → P(1) ≈ 36,79%
• t = 2 ans → P(1) ≈ 27,07%
• t = 5 ans → P(1) ≈ 3,37%
• t = 10 ans → P(1) ≈ 0,045%

Une période d’observation plus longue augmente la probabilité d’observer plusieurs défauts. La décroissance exponentielle (exp -λ * t) fait en sorte qu’avec le temps, observer un seul défaut devient très improbable.

4. Effet de l’augmentation de X (nombre de défauts) en gardant λ et t constants

Nous fixons λ = 1 et t = 1, et nous faisons varier X :

• X = 1 → P(1) ≈ 36,79%
• X = 2 → P(2) ≈ 18,39%
• X = 5 → P(5) ≈ 0,31%
• X = 10 → P(10) ≈ 0,001%

La probabilité augmente d’abord, atteint un pic près de X ≈ λ t, puis diminue. Le terme factoriel (X!) dans le dénominateur croît beaucoup plus vite que le numérateur, réduisant ainsi la probabilité des valeurs extrêmes.

5. Pourquoi est-ce important pour la modélisation du risque de défaut ?

La distribution de Poisson aide les gestionnaires de risque à :

• Prédire le nombre attendu de défauts sur une période donnée.
• Évaluer des scénarios extrêmes pour les tests de résistance.
• Modéliser la distribution des défauts dans un portefeuille.

Cependant, elle présente des limites :

• Elle suppose que les défauts sont indépendants, alors qu’en réalité ils sont souvent corrélés, en particulier en période de crise.
• Elle nécessite un taux de défaut constant λ, alors que ce dernier varie en fonction des cycles économiques.
• Elle ignore les effets de contagion, où un défaut peut en déclencher d’autres.
• Elle ne prend pas en compte les ajustements structurels du portefeuille, tels que les remboursements de prêts ou la restructuration.

Malgré ces limites, la distribution de Poisson reste un outil puissant pour quantifier l’exposition au risque. Comprendre ses mécanismes permet aux professionnels de la finance d’anticiper les défauts, d’allouer le capital efficacement et de mieux gérer le risque de crédit.