Comprendre la distribution de Poisson en termes simples

La distribution de Poisson , nommée d'après le mathématicien français Siméon-Denis Poisson, est un outil fondamental en finance pour modéliser des événements rares tels que les défauts de crédit dans un portefeuille de prêts. Elle estime la probabilité d'observer un certain nombre de défauts sur une période donnée.

Dans cet article, nous expliquerons la formule de la distribution de Poisson, comment la modification de ses paramètres affecte les probabilités, et pourquoi elle est essentielle dans la modélisation du risque financier.

1. Comprendre la formule

La probabilité d'observer exactement X défauts sur une période t, étant donné un taux de défaut moyen λ, est donnée par :

\[ P(X) = \frac{(λ t)^X \cdot e^{-λ t}}{X!} \]

où :

• λ représente le nombre moyen de défauts par an.
• t est la période d'observation en années.
• X est le nombre de défauts observés.
• e^{-λ t} représente la probabilité d'observer aucun défaut.
• (λ t)^X pondère la probabilité en fonction du nombre attendu de défauts.
• X! normalise la distribution pour éviter les doubles comptes.

2. Effet de l'augmentation de λ (taux de défaut) en gardant t et X constants

Nous augmentons λ, en gardant t = 1 et X = 1 :

• λ = 1 → P(1) ≈ 36.79%
• λ = 2 → P(1) ≈ 27.07%
• λ = 5 → P(1) ≈ 3.37%
• λ = 10 → P(1) ≈ 0.045%

À mesure que λ augmente, la probabilité d'observer exactement un défaut diminue fortement. Un taux de défaut plus élevé rend plus probable l'observation de plusieurs défauts. La décroissance exponentielle (exp -λ * t) garantit que les valeurs plus faibles deviennent moins probables.

3. Effet de l'augmentation de t (période d'observation) en gardant λ et X constants

Nous fixons λ = 1 et X = 1, et augmentons t :

• t = 1 an → P(1) ≈ 36.79%
• t = 2 ans → P(1) ≈ 27.07%
• t = 5 ans → P(1) ≈ 3.37%
• t = 10 ans → P(1) ≈ 0.045%

Une période d'observation plus longue augmente la probabilité d'observer plusieurs défauts. La décroissance exponentielle (exp -λ * t) garantit qu'au fil du temps, observer un seul événement devient très improbable.

4. Effet de l'augmentation de X (nombre de défauts) en gardant λ et t constants

Nous fixons λ = 1 et t = 1, et faisons varier X :

• X = 1 → P(1) ≈ 36.79%
• X = 2 → P(2) ≈ 18.39%
• X = 5 → P(5) ≈ 0.31%
• X = 10 → P(10) ≈ 0.001%

La probabilité augmente d'abord, atteint un pic autour de X ≈ λ t, puis diminue. Le terme factoriel (X!) dans le dénominateur croît beaucoup plus vite que le numérateur, réduisant ainsi la probabilité des valeurs extrêmes.

5. Pourquoi est-ce important pour la modélisation du risque de défaut ?

La distribution de Poisson aide les gestionnaires de risque à :

• Prédire le nombre attendu de défauts sur une période donnée.
• Évaluer des scénarios extrêmes pour les tests de résistance.
• Modéliser la répartition des défauts dans un portefeuille.

Cependant, elle présente des limites :

• Elle suppose que les défauts sont indépendants, alors qu'en réalité, ils sont souvent corrélés, notamment en période de crise.
• Elle exige un taux de défaut constant λ, alors que les cycles économiques influencent ce taux.
• Elle ignore les effets de contagion, où un défaut peut en entraîner d'autres.
• Elle ne prend pas en compte les ajustements structurels du portefeuille, tels que le remboursement ou la restructuration des prêts.

Malgré ces limites, la distribution de Poisson reste un outil puissant pour quantifier l'exposition au risque. Comprendre son fonctionnement permet aux professionnels de la finance d'anticiper les défauts, d'allouer efficacement le capital et de gérer le risque de crédit avec plus de précision.