En mathématiques, la continuité est un concept fondamental qui nous aide à comprendre le comportement des fonctions. Si la notion standard de continuité est généralement suffisante pour les applications de base, il existe une version plus forte, appelée continuité uniforme.
Heinrich Heine a introduit le concept de continuité uniforme en 1872 lorsqu’il a publié une démonstration du théorème aujourd’hui connu sous le nom de théorème de Heine pour les fonctions continues sur un segment. Cependant, l’idée et la démonstration proviennent à l’origine de Dirichlet en 1854.
Pour poser les bases, commençons par revisiter la définition classique de la continuité, ou continuité ponctuelle. Une fonction f est dite continue en un point x₀ si, pour tout ε > 0 (epsilon), il existe un δ > 0 (delta) tel que, pour tout x dans une certaine plage autour de x₀ :
|x - x₀| < δ implique |f(x) - f(x₀)| < ε.
En termes simples, une fonction continue signifie que de petites variations de l’entrée x entraînent de petites variations de la sortie f(x). Cependant, cette condition doit seulement être satisfaite localement autour de chaque point x₀, et le choix de δ peut varier en fonction de x₀ et de ε.
La continuité uniforme va plus loin en imposant une condition plus stricte. Une fonction f est uniformément continue sur un intervalle A si, pour tout ε > 0, il existe un unique δ > 0 tel que, pour toutes les paires de points x et x’ dans A :
|x - x’| < δ implique |f(x) - f(x’)| < ε.
La différence clé réside dans le fait que δ ne dépend pas des points x et x’ spécifiques choisis ; il dépend uniquement de ε. Cela signifie qu’une fois ε fixé, le même δ s’applique uniformément sur l’ensemble de l’intervalle A, au lieu de varier à chaque point.
Par exemple, les fonctions sin(x) et cos(x) sont uniformément continues. Puisque leur taux de variation est borné (leurs dérivées ont une valeur absolue au plus égale à 1), les oscillations de ces fonctions sont contrôlées, permettant un choix de δ cohérent.
Il existe des fonctions qui sont continues mais pas uniformément continues. Par exemple :
La fonction f(x) = 1/x sur l’intervalle (0, 1] est continue mais pas uniformément continue. Lorsque x s’approche de 0, la fonction f(x) augmente sans borne, ce qui signifie qu’aucun δ unique ne fonctionne pour toutes les paires de points de l’intervalle.
La fonction f(x) = x² sur l’intervalle ℝ (tous les nombres réels) est continue partout mais pas uniformément continue sur toute la droite réelle. Lorsque x devient très grand, de petites variations de x entraînent des variations de plus en plus importantes de f(x). Cela empêche l’existence d’un δ uniforme pour un ε donné.
La continuité uniforme permet d’assurer que certaines intégrales convergent et que les solutions d’équations différentielles se comportent de manière prévisible sur leurs domaines. Lorsqu’il s’agit d’approcher des fonctions par des polynômes, la continuité uniforme garantit également que l’erreur d’approximation peut être contrôlée sur l’ensemble de l’intervalle.
Écrire commentaire