Mathematical Principles and Quantitative Finance
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 12. octobre 2024
Maximum Likelihood Estimation (MLE) is a statistical method used to estimate the parameters of a model based on observed data. It identifies the parameter values that maximize the likelihood of the observed data. MLE is widely used in finance, such as in estimating risk metrics like Value-at-Risk and Expected Shortfall by fitting models like the Generalized Pareto Distribution to extreme events.
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 03. octobre 2024
Les séries de Laurent, extensions des séries de Taylor, modélisent les fonctions autour de singularités et sont essentielles en finance quantitative pour la valorisation d'actifs et d'options. Elles convergent dans une couronne, contrairement aux séries de Taylor qui convergent dans un disque.
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 03. octobre 2024
Laurent series, extensions of Taylor series, model functions around singularities and are essential in quantitative finance for asset and option valuation. They converge in an annulus, unlike Taylor series that converge within a disk.
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 01. octobre 2024
En mathématiques, la continuité est un concept fondamental qui nous aide à comprendre le comportement des fonctions. Si la notion standard de continuité est généralement suffisante pour les applications de base, il existe une version plus forte, appelée continuité uniforme. Heinrich Heine a introduit le concept de continuité uniforme en 1872 lorsqu’il a publié une démonstration du théorème aujourd’hui connu sous le nom de théorème de Heine pour les fonctions continues sur un...
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 01. octobre 2024
In the study of mathematical analysis, continuity is a cornerstone concept that helps us understand the behavior of functions. While the standard notion of continuity is often sufficient for basic applications, there exists a stronger version known as uniform continuity. Heinrich Heine introduced the concept of uniform continuity in 1872 when he published a proof of the theorem now known as Heine's theorem for continuous functions on a segment. However, the idea and proof originally came from...
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 01. octobre 2024
In quantitative finance, pricing conditional derivatives, like options, requires ensuring that price functions converge, meaning they stabilize as calculations are refined. Compact and closed sets in complex space help ensure this stability by keeping sequences bounded and finite. Analytic functions, which smoothly represent derivative prices, rely on this convergence for accuracy.
The Cauchy integral formula enables finding a function's value by integrating along a boundary contour.
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 01. octobre 2024
En finance quantitative, la valorisation des dérivés conditionnels, tels que les options, nécessite la convergence des fonctions de prix. Les ensembles compacts et fermés dans l’espace complexe assurent cette stabilité. Les fonctions analytiques dépendent de cette convergence pour une précision optimale, et la formule intégrale de Cauchy permet de calculer la valeur d'une fonction via une intégrale sur son contour.
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 01. octobre 2024
Les fonctions indicatrices occupent une place fondamentale en mathématiques financières, car elles servent de conditions binaires pour l’évaluation des actifs risqués. Elles permettent d’agir comme des interrupteurs dans les formules, incluant ou excluant certains termes en fonction du respect de conditions précises. Par exemple, lors de l'évaluation de la valeur d'une obligation à coupon zéro dans un univers risque-neutre (*), nous tenons compte de la valeur actuelle attendue du...
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 30. septembre 2024
Option pricing, a key financial market challenge, relies on the Fourier transform to address complexities in valuation. An option grants the right to buy or sell an asset at a strike price, K, by expiration, T. The current price depends on the expected payoff, e.g., for a European call: max(S_T - K, 0). This is challenging as future asset prices follow complex stochastic processes.
The Fourier transform simplifies this by converting payoff calculations from time to frequency domain.
Mathematical Principles and Quantitative Finance · 30. septembre 2024
The characteristic function of a real random variable X encodes its entire probability distribution and uniquely determines it. It is defined as:
φ_X(u) = E[exp(i * u * X)],
where E[.] is the expectation, u is a real "frequency" parameter, and i is the imaginary unit (i² = -1). The function transforms the distribution of X into the frequency domain using Fourier analysis.
For a random variable with density f_X(x):
φ_X(u) = ∫[exp(i * u * x) * f_X(x) dx] (Fourier transform).