Les perpétuités en finance expliquées simplement

Une perpétuité est un instrument financier qui fournit des flux de trésorerie indéfiniment. La valeur actuelle (VA) d'une perpétuité est :

\[ VA = \frac{C}{r} \]

où \( C \) est le flux de trésorerie et \( r \) est le taux d'actualisation.

Pourquoi les perpétuités sont-elles utiles ?

1. Évaluation des actions : Les actions privilégiées versent souvent des dividendes fixes à perpétuité.

2. Immobilier : Les propriétés avec des revenus locatifs stables sont évaluées avec des modèles de perpétuité.

3. Prix des obligations : Les obligations "consols" versent des intérêts perpétuellement.

4. Évaluation d'entreprise : Les valeurs terminales dans les modèles de flux de trésorerie actualisés (DCF) utilisent souvent des perpétuités.

Lien avec les séries géométriques

Une perpétuité est une somme infinie de flux de trésorerie actualisés :

\[ VA = \frac{C}{(1 + r)} + \frac{C}{(1 + r)^2} + \frac{C}{(1 + r)^3} + \dots \]

Cela forme une série géométrique dont le premier terme est \( a = \frac{C}{(1 + r)} \) et la raison est \( q = \frac{1}{(1 + r)} \). La formule d'une série géométrique infinie donne :

\[ VA = \frac{C}{r} \]

Perpétuité croissante

Si les flux de trésorerie augmentent à un taux constant \( g \), la formule de la valeur actuelle devient :

\[ VA = \frac{C}{r - g} \]

où \( g \) est le taux de croissance.

Pourquoi soustrait-on \( g \) ?

Une perpétuité croissante suit :

\[ VA = \frac{C}{(1 + r)} + \frac{C(1 + g)}{(1 + r)^2} + \frac{C(1 + g)^2}{(1 + r)^3} + \dots \]

Cette série géométrique a pour premier terme \( \frac{C}{(1 + r)} \) et pour raison \( \frac{(1 + g)}{(1 + r)} \), ce qui simplifie en :

\[ VA = \frac{C}{r - g} \]

Si \( g \) est proche de \( r \), \( VA \) devient très grand. Si \( g = r \), la formule ne fonctionne plus, impliquant une valeur infinie.

Exemple

Une action verse un dividende de 2€, qui croît de 3% par an. Si le taux de rendement requis est de 7%, sa valeur est :

\[ P = \frac{2}{0.07 - 0.03} = 50 \]

C'est plus élevé qu'une perpétuité standard, car les flux de trésorerie futurs augmentent.