En finance et en mathématiques, de nombreuses situations nécessitent de passer d’un modèle discret, comme une somme, à une approximation continue,
comme une intégrale. Ce passage permet de simplifier les calculs, de modéliser des comportements asymptotiques et de généraliser les résultats.
Cependant, cette transition soulève des défis, notamment pour ajuster les différences entre les deux approches. Ces ajustements incluent souvent des corrections spécifiques, comme celles impliquant la partie fractionnaire d’une variable continue, qui joue un rôle clé dans l’ajustement local.
Dans cet article, nous explorons le principe général de cette transition, son rôle et l’importance de la partie fractionnaire dans la correction des écarts.
1. Principe général : Relier somme discrète et intégrale continue
La somme discrète et l’intégrale continue sont deux façons de mesurer une quantité totale :
• La somme discrète ajoute les valeurs de la fonction à des points spécifiques, par exemple :
∑ f(n) pour n allant de 2 à l’infini.
• L’intégrale continue capture l’aire sous la courbe en intégrant la fonction sur un intervalle continu, par exemple :
∫ f(t) dt entre 1 et l’infini.
Pour relier une somme discrète à une intégrale continue, on utilise une approximation qui inclut :
• Une intégrale principale qui capture l’essentiel de la somme.
• Des termes correctifs, comme ceux liés à la partie fractionnaire, pour ajuster les variations locales.
2. Rôle du passage du discret au continu en finance
Cette transition est particulièrement utile en finance, où les flux ou données sont souvent discrets. Voici quelques exemples :
• Pricing d’options : Le prix d’une option, exprimé comme une espérance, utilise des intégrales continues, même si les prix évoluent de façon discrète.
• Flux financiers : Les paiements périodiques, comme les coupons d’une obligation, peuvent être remplacés par des flux continus pour simplifier les calculs.
• Risque : Les mesures comme la VaR utilisent des distributions continues, bien que les données soient discrètes.
Le passage du discret au continu simplifie les calculs théoriques et permet d’utiliser des outils analytiques plus puissants.
3. Nécessité d’un pas élargi dans l’intégrale
Lorsque l’on remplace une somme par une intégrale, il est souvent utile de commencer l’intégrale avant l’index initial de la somme. Par exemple :
• Une somme ∑ f(n) pour n allant de 2 à l’infini peut être remplacée par une intégrale ∫ f(t) dt entre 1 et l’infini.
Pourquoi intégrer avant ?
1. Approximations globales
Commencer à t = 1 (au lieu de t = 2) élargit la base de l’intégrale, capturant mieux les contributions globales de la fonction.
2. Simplicité analytique
L’intégration à partir de t = 1 évite de traiter des cas particuliers pour t = 2, rendant les calculs plus fluides.
4. Rôle crucial de la partie fractionnaire
La partie fractionnaire de t, notée {t}, est essentielle pour corriger les écarts locaux entre les approches discrètes et continues. Elle est définie par :
{t} = t - entier(t),
où entier(t) est la partie entière de t.
Correction avec la partie fractionnaire
Dans la relation entre somme et intégrale, on inclut un terme correctif impliquant {t} :
∑ f(n) pour n allant de 2 à N = ∫ (f(t) + {t} × f’(t)) dt entre 1 et N.
1. Ajout de la variation locale
La partie fractionnaire {t} mesure la différence entre t (continu) et son entier précédent. Cela permet d’ajuster les contributions discrètes oubliées.
2. Gestion des oscillations
Si f(t) oscille rapidement, comme avec cosinus(ln t), le terme {t} × f’(t) ajuste les oscillations pour aligner somme et intégrale.
5. Exemple illustratif : Somme discrète oscillante
Prenons la somme discrète suivante :
S = ∑ cos(ln n) / ln n pour n allant de 2 à l’infini.
Étape 1 : Approximation par une intégrale
La somme peut être approximée par l’intégrale correspondante :
∫ cos(ln t) / ln t dt entre 1 et l’infini.
Étape 2 : Correction par la partie fractionnaire
Pour ajuster la différence entre la somme et l’intégrale, on ajoute un terme basé sur la dérivée de f(t) = cos(ln t) / ln t, pondéré par la partie fractionnaire {t}. Cela corrige les oscillations rapides dues au cosinus(ln t).
Note explicative : Que signifie {t} × f’(t) ?
Le terme {t} × f’(t) est une correction locale qui ajuste la transition entre la somme discrète et l’intégrale continue :
• f’(t) est la dérivée de la fonction f(t), représentant la variation locale de f autour de t.
• {t} mesure à quel point t s’écarte de son entier précédent, pondérant ainsi cette correction.
Ce produit ajuste les petites différences laissées par le passage du discret au continu.
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