La notion de norme en finance quantitative

La Norme en Finance Quantitative : Une approche simplifiée

La notion de norme, enseignée dès le lycée, est un concept fondamental en mathématiques. Elle mesure la "taille" ou la "longueur" d’un vecteur, qui appartient à un espace vectoriel¹. En finance quantitative, cette notion permet de quantifier des risques, de mesurer des distances entre portefeuilles ou d’évaluer des écarts dans des scénarios. Cependant, certaines relations mathématiques supposées universelles ne sont valables que sous certaines normes. Cet article explore la norme \(L^1\), la norme \(L^3\), ainsi que leur généralisation, les normes \(L^p\), leur relation d’équivalence, et leur importance en finance.

La Norme \(L^1\) : Une mesure des écarts absolus

La norme \(L^1\), aussi appelée norme des écarts absolus, mesure la taille d’un vecteur en additionnant les valeurs absolues de ses composantes. Mathématiquement, pour un vecteur \(x = (x_1, x_2, ..., x_n)\), la norme \(L^1\) est définie comme :

Contrairement à d'autres normes comme \(L^2\), la norme \(L^1\) accorde le même poids à chaque composante, ce qui en fait un outil utile pour simplifier les modèles financiers ou imposer des contraintes.

Prenons un exemple simple avec le vecteur \(x = (3, -4, 2)\). Sa norme \(L^1\) est calculée ainsi :

La norme \(L^1\) est particulièrement utilisée pour favoriser la parcimonie dans les portefeuilles financiers, c’est-à-dire pour limiter le nombre d’actifs retenus dans une sélection. Par exemple, dans des modèles d’optimisation, l’utilisation de \(L^1\) permet de créer des portefeuilles concentrés, composés d’un petit nombre d’actifs significatifs.

La Norme \(L^3\) : Sensibilité aux grandes valeurs

La norme \(L^3\) met davantage l’accent sur les grandes valeurs des composantes d’un vecteur. Elle est définie comme suit :

Prenons le même vecteur \(x = (3, -4, 2)\). Sa norme \(L^3\) se calcule ainsi :

La norme \(L^3\) est utile pour analyser des phénomènes où les valeurs extrêmes jouent un rôle important, comme la détection d’anomalies dans des séries temporelles financières. Comparée à \(L^1\), elle amplifie davantage les grandes composantes, mais de manière moins marquée que \(L^\infty\) (la norme maximale).

Généralisation : Les Normes \(L^p\)

Les normes \(L^p\) forment une famille de normes généralisées pour tout \(p ≥ 1\). Elles sont définies par la formule suivante :

Lorsque \(p = 1\), on retrouve la norme \(L^1\). Pour \(p = 2\), la norme devient la distance euclidienne \(L^2\). Lorsque \(p > 2\), comme \(L^3\), la norme devient de plus en plus sensible aux grandes valeurs des composantes. À la limite, lorsque \(p \to \infty\), on obtient la norme maximale \(L^\infty\), définie comme :

Pour le vecteur \(x = (3, -4, 2)\), la norme \(L^\infty\) est :

Ces normes s'appliquent dans des espaces vectoriels¹, où elles permettent d’évaluer la taille ou la distance relative des vecteurs.

Relation d’Équivalence entre Normes

En dimension finie, toutes les normes \(L^p\) sont équivalentes. Cela signifie qu’il existe deux constantes \(C_1 > 0\) et \(C_2 > 0\) telles que, pour tout vecteur \(x\), on ait :

où \(||x||_a\) et \(||x||_b\) représentent deux normes quelconques. En pratique, cela garantit que, même si les valeurs numériques des normes \(L^p\) diffèrent, elles décrivent de manière cohérente la taille relative des vecteurs.

Par exemple, bien que :

leur comportement global reste cohérent. Cela permet aux analystes financiers de choisir la norme la plus adaptée sans craindre de compromettre les propriétés fondamentales des modèles.

Les normes jouent un rôle fondamental en finance, notamment dans l’évaluation des risques, l’optimisation de portefeuilles et la régularisation des modèles.

Dans l’évaluation des risques, la norme \(L^\infty\) est utilisée pour analyser les pires scénarios possibles dans des tests de stress, tandis que \(L^1\) est utile pour évaluer l’impact global des écarts absolus. En optimisation de portefeuilles, la norme \(L^1\) favorise des sélections concentrées avec un petit nombre d’actifs, tandis que \(L^2\) permet une répartition plus homogène des poids. Dans le cadre de la régularisation des modèles de machine learning, la norme \(L^1\) est utilisée pour éliminer les variables inutiles, et la norme \(L^2\) pour limiter les grandes variations des coefficients.

La compréhension des normes \(L^1\), \(L^2\), \(L^3\), et \(L^\infty\) est essentielle pour résoudre des problèmes en finance quantitative. La relation d’équivalence entre normes en dimension finie garantit que le choix d’une norme ne compromet pas les propriétés fondamentales des modèles. Chaque norme offre un regard spécifique sur les données, qu’il s’agisse d’évaluer des risques, de détecter des anomalies, ou d’optimiser des portefeuilles. La maîtrise de ces concepts permet d’adapter les approches mathématiques aux besoins complexes des marchés financiers.