Le temps d'arrêt est un concept lié aux processus stochastiques en mathématiques et en statistiques. Dans le contexte de la tarification des options
exotiques, le temps d'arrêt peut se référer au processus de prise de décision quant au moment d'exercer l'option avant son expiration, dans des conditions qui optimisent le rendement.
Les options exotiques ont des caractéristiques et des conditions complexes. Elles peuvent inclure différents types de paiements ou être activées ou
désactivées sous certaines conditions ou événements spécifiques.
Les modèles comme Black-Scholes-Merton, souvent utilisés pour la tarification des options standards, ne sont parfois pas suffisants pour les options
exotiques. Des modèles alternatifs, tels que les modèles à arbre binomial, les simulations Monte Carlo et les méthodes de différences finies, sont utilisés pour estimer leur valeur.
Chaque option exotique a des caractéristiques uniques, et les modèles doivent être adaptés en conséquence, impliquant parfois le concept de temps
d'arrêt pour optimiser la stratégie d'exercice de l'option afin de maximiser sa valeur.
La tarification (ou pricing) d'une option américaine peut être abordée en utilisant un modèle à arbre binomial. Le prix de l'option est calculé en
remontant à partir de l'expiration, et à chaque nœud, nous calculons la valeur de l'option basée sur le maximum entre l'exercice immédiat de l'option ou la conserver pour un exercice
futur.
La valeur d'exercice immédiat pour une option d'achat est calculée comme le maximum entre 0 et (S - K), et pour une option de vente, c'est le
maximum entre 0 et (K - S), où S est le prix de l'action et K est le prix d'exercice.
La valeur de conservation est dérivée de la valeur future attendue de l'option, actualisée au taux sans risque. Cela prend en compte les
probabilités neutres au risque (*) des mouvements de prix de l'action vers le haut ou vers le bas.
Considérons un modèle binomial simple à une période. Le prix actuel de l'action est de 50 $. Il peut soit monter à 60 $ soit descendre à 40 $ en une
période avec une probabilité égale. Nous voulons tarifer une option d'achat américaine avec un prix d'exercice de 50 $.
1. À l'expiration, les valeurs d'exercice immédiat seraient :
-
10 $ si le prix de l'action monte à 60 $ (maximum entre 0 et 60 $ - 50 $).
-
0 $ si le prix de l'action descend à 40 $ (maximum entre 0 et 40 $ - 50 $).
2. La valeur de conservation à chaque nœud est la valeur future attendue de l'option, actualisée à un taux sans risque de
5 %, en tenant compte des probabilités égales de mouvements de prix :
La valeur de conservation est (0.5 * 10 $ + 0.5 * 0 $) / (1 + 0.05) = 4,76 $.
3. Nous comparons ensuite la valeur d'exercice immédiat et la valeur de conservation :
-
Avec un prix de l'action de 50 $, l'exercice immédiat rapporte 0 $ (maximum entre 0 et 50 $ - 50 $).
- La valeur de conservation est de 4,76 $.
Le problème de temps d'arrêt ici consiste à déterminer à quel moment (le cas échéant) avant l'expiration le détenteur de l'option doit exercer
l'option pour maximiser son rendement.
(*) La probabilité risque-neutre est principalement utilisée pour évaluer
les dérivés en assurant qu’il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage. Dans ce cadre, le concept simplifie le pricing en transformant les rendements attendus des actifs risqués pour les aligner sur
le taux sans risque, garantissant ainsi une évaluation cohérente et sans arbitrage.
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