La discrétisation en termes simples

De nombreux modèles financiers, notamment ceux qui traitent de la tarification des dérivés ou de la gestion des risques, sont basés sur des processus en temps continu comme le mouvement brownien. La discrétisation aide à convertir ces modèles continus en une forme qui peut être calculée numériquement.

Pour simuler les dynamiques du marché pour des tâches telles que la tarification des options, l'optimisation de portefeuille ou l'évaluation des risques, les processus continus sont discrétisés en étapes de temps discrètes. Cela permet l'application de méthodes numériques pour simuler les trajectoires des prix des actifs, des taux d'intérêt ou d'autres variables financières au fil du temps.

De nombreux modèles en finance, y compris le célèbre modèle de Black-Scholes pour la tarification des options, sont basés sur des équations différentielles. Des méthodes de discrétisation, comme les méthodes de différences finies, sont utilisées pour résoudre numériquement ces équations.

Pour des fins de gestion des risques, comme les calculs de la Valeur à Risque (VaR), la discrétisation aide à simuler la distribution des rendements sur un horizon temporel spécifique pour évaluer les pertes potentielles.

La discrétisation peut également simplifier des modèles complexes, les rendant plus tractables et faisables sur le plan computationnel, bien qu'elle puisse introduire un certain niveau d'erreur d'approximation.

Prenons maintenant l'exemple de la tarification d'une option exotique en utilisant une technique de discrétisation.

Une méthode courante pour tarifer ces options est la simulation de Monte Carlo, qui repose fortement sur la discrétisation.

Exemple : Tarification d'une option barrière

Une option barrière est un type d'option exotique où le paiement dépend de si le prix de l'actif sous-jacent atteint un certain niveau (la barrière) pendant la durée de vie de l'option.

Hypothèses :

• Actif sous-jacent : Action avec un prix actuel S0.
• Prix d'exercice : K.
• Niveau de la barrière : B (pour une option barrière knock-out, l'option devient sans valeur si le prix de l'actif atteint ce niveau).
• Taux sans risque : r.
• Volatilité de l'actif sous-jacent : σ.
• Échéance : T années.
• Étapes de temps pour la discrétisation : n (le nombre total d'étapes de temps discrètes dans la simulation).

Simulation de Monte Carlo avec discrétisation :

• Discrétiser le temps : Diviser la durée de vie de l'option en n petits intervalles, chacun de longueur Δt = T/n.
  
• Simuler les trajectoires de prix : Pour chaque trajectoire simulée (c'est-à-dire un scénario futur possible pour le prix de l'action), utiliser le modèle de mouvement brownien géométrique pour simuler le prix de l'action à chaque étape de temps. La formule pour le prix de l'action à chaque étape est donnée par : S(t+Δt) = S(t) exp((r - σ^2/2) Δt + σ √Δt Z) où Z est une variable aléatoire de distribution normale standard.

Pour chaque trajectoire, vérifier si le prix de l'action traverse le niveau de la barrière B à n'importe quelle étape de temps. Si c'est le cas, l'option devient sans valeur dans le cas d'une barrière knock-out.

Pour les trajectoires où la barrière n'est pas franchie, calculer le paiement à l'échéance, qui pourrait être, par exemple, max(S_T - K, 0) pour une option d'achat. Faire la moyenne des paiements de toutes les trajectoires simulées et actualiser cette moyenne à la valeur présente en utilisant le taux sans risque r.