Introduction aux copules et théorème de Sklar

Les copules sont des outils mathématiques puissants permettant de modéliser la dépendance entre plusieurs variables aléatoires, indépendamment de leurs distributions marginales. Le théorème de Sklar (1959) en est la pierre angulaire, stipulant que toute fonction de répartition conjointe F(x₁, ..., x_d) peut être décomposée en ses distributions marginales F₁, ..., F_d et une copule C :

\[ F(x_1, ..., x_d) = C(F_1(x_1), ..., F_d(x_d)) \]

Cette décomposition permet de séparer la structure de dépendance, capturée par la copule, des comportements individuels des variables, représentés par leurs distributions marginales. Pour utiliser une copule, chaque variable est d'abord transformée en une loi uniforme sur l'intervalle [0,1] via sa fonction de répartition cumulée (CDF) :

\[ u_i = F_i(x_i) \]

où u_i suit une loi uniforme sur [0,1]. Ces valeurs uniformes sont ensuite utilisées pour reconstituer la distribution conjointe à l'aide de la copule, reflétant ainsi la dépendance entre les variables.

Visualisation d'une copule

Le premier graphique ci-dessous illustre la structure d'une copule. Les variables u et v, transformées en uniformes, sont représentées sur les axes, tandis que la couleur indique l'intensité de la dépendance entre elles. Les zones plus foncées correspondent à une corrélation élevée, tandis que les zones plus claires indiquent une dépendance plus faible.

Lorsqu'on étudie plusieurs variables, chacune ayant sa propre distribution, une copule permet de comprendre comment elles interagissent, indépendamment de la forme de leurs lois marginales.

Le second graphique montre un exemple de distribution multivariée générée par une copule. Chaque point correspond à une paire (u, v), et la densité des points met en évidence les zones de concentration, révélant ainsi la structure de dépendance.

Copules archimédiennes

Les copules archimédiennes constituent une famille particulière de copules, caractérisées par une fonction génératrice \( \varphi \). Elles offrent une construction simple et flexible, s'exprimant sous la forme :

\[ C(u,v) = \varphi^{-1}(\varphi(u) + \varphi(v)) \]

Contrairement aux copules gaussiennes ou t-Student, les copules archimédiennes ne nécessitent pas de matrice de corrélation, ce qui facilite leur utilisation. Elles sont largement employées dans des domaines tels que la finance, la gestion des risques et l'actuariat pour modéliser diverses formes de dépendance.

Les copules archimédiennes sont particulièrement appréciées pour leur simplicité de construction et leur capacité à capturer des dépendances asymétriques ou extrêmes. Par exemple, la copule de Gumbel, une copule archimédienne, est souvent utilisée pour modéliser des dépendances accentuées dans les queues de distribution, où se produisent les événements extrêmes.

Considérons deux actifs financiers A et B, avec des probabilités de défaut respectives de 5 % et 10 % pour l'année à venir. Pour évaluer le risque de défaut conjoint, on peut utiliser une copule de Gumbel avec un paramètre \( \theta = 2 \), illustrant une dépendance marquée.

Le graphique ci-dessous montre la distribution conjointe des défauts simulés sous une copule de Gumbel. Les zones « chaudes » indiquent un risque plus élevé de défaut simultané des deux actifs.

Mathématiquement, les probabilités de défaut sont d'abord transformées en valeurs uniformes (u et v), puis intégrées dans la copule. Par exemple :

• \( u = 0,05 \), \( v = 0,10 \), et \( \theta = 2 \)
• Calcul de \( (-\log(0,05))^2 \) et \( (-\log(0,10))^2 \)
• Somme, exponentiation à \( 1/2 \), puis application de l'exponentielle.

Finalemnt, on obtient une probabilité conjointe d'environ 2,29 % que A et B fassent défaut simultanément. En 2008, ce type de copule, sensible aux queues de distribution, aurait pu améliorer l'évaluation des risques par rapport aux copules gaussiennes, moins adaptées aux événements extrêmes.