Le modèle de Black-Scholes permet de calculer la valeur théorique des options de style européen, en supposant que les prix des actions suivent une distribution
log-normale. Le modèle est connu pour sa volatilité constante, l'absence de paiements de dividendes, et son utilisation innovante du calcul stochastique. La formule pour une option d'achat européenne est :
C = S₀ * N(d₁) - X * e^(-rT) * N(d₂)
Où :
- C est le prix de l'option d'achat.
- S₀ est le prix actuel de l'action.
- X est le prix d'exercice.
- T est le temps jusqu'à l'expiration (en années).
- r est le taux d'intérêt sans risque.
- σ est la volatilité du rendement de l'action.
- N(·) est la fonction de distribution cumulative normale standard.
- d₁ et d₂ sont définis comme suit :
d₁ = (ln(S₀/X) + (r + σ²/2)T) / (σ√T)
d₂ = d₁ - σ√T
d₂ = d₁ - σ√T
- ln(S₀/X) est le logarithme naturel du ratio prix de l'action sur prix d'exercice.
- r est le taux d'intérêt sans risque.
- σ² est la volatilité au carré de l'action.
- T est le temps jusqu'à l'expiration de l'option.
Le terme σ²/ 2 est ajouté dans la formule de d_1 pour ajuster la différence entre la moyenne du logarithme des prix (qui suit une
distribution normale) et la moyenne des prix eux-mêmes (qui suivent une distribution log-normale). Plus précisément, dans le modèle de
Black-Scholes, on suppose que le logarithme du prix des actions suit une distribution normale.
Les prix eux-mêmes suivent donc une distribution log-normale, car lorsque vous exponentiez une variable normalement distribuée, vous obtenez une variable log-normale.
La correction σ² / 2 ajuste la formule pour prendre en compte le fait que, dans une distribution log-normale, la moyenne des prix est
plus élevée que celle de la distribution normale du logarithme. Sans cette correction, la formule ne refléterait pas correctement l’effet de la volatilité sur l’évolution attendue du prix de
l’action.
La standardisation en statistique signifie ajuster les données pour qu'elles aient une moyenne de 0 et un écart-type de 1. Dans la formule de Black-Scholes, la
division par σ√T standardise d₁ et d₂. Ce processus échelonne l'impact du prix de l'action, du prix d'exercice, de la volatilité et du temps, rendant le modèle applicable à différents
scénarios.
Cette standardisation aligne d₁ et d₂ avec les propriétés d'une distribution normale standard, facilitant l'utilisation de N(d₁) et N(d₂) pour estimer les
probabilités pertinentes à la valeur de l'option.
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